Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18013 / 52447
↖ ↑ ↗
← S 72.762437°
W 81.051636°		 ← 181.02 m → S 72.762437°
W 81.046142°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 72.764065°
W 81.051636°		 ← 181 m →
32 762 m²		 S 72.764065°
W 81.046142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274864196777344 y=0.800285339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274864196777344 × 216)
    floor (0.274864196777344 × 65536)
    floor (18013.5)     		tx = 18013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800285339355469 × 216)
    floor (0.800285339355469 × 65536)
    floor (52447.5)     		ty = 52447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18013 / 52447 ti = "16/18013/52447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18013/52447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18013 ÷ 216
    18013 ÷ 65536     		x = 0.274856567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52447 ÷ 216
    52447 ÷ 65536     		y = 0.800277709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.450286865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41461791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.800277709960938 × 2 - 1) × π
    -0.600555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88670049524617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41461791} λ = -1.41461791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88670049524617))-π/2
    2×atan(0.151571094232099)-π/2
    2×0.150426114823926-π/2
    0.300852229647852-1.57079632675     		φ = -1.26994410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41461791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.051636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26994410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.762437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18013 KachelY 52447 -1.41461791 -1.26994410 -81.051636 -72.762437
    Oben rechts KachelX + 1 18014 KachelY 52447 -1.41452203 -1.26994410 -81.046142 -72.762437
    Unten links KachelX 18013 KachelY + 1 52448 -1.41461791 -1.26997251 -81.051636 -72.764065
    Unten rechts KachelX + 1 18014 KachelY + 1 52448 -1.41452203 -1.26997251 -81.046142 -72.764065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26994410--1.26997251) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dl = 181.000110000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26994410--1.26997251) × R
    2.84100000000898e-05 × 6371000     		dr = 181.000110000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41461791--1.41452203) × cos(-1.26994410) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.296334262600207 × 6371000     		do = 181.016222883927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41461791--1.41452203) × cos(-1.26997251) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.296307128535886 × 6371000     		du = 180.999648000577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26994410)-sin(-1.26997251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296334262600207-0.296307128535886)×R²
    abs(-1.41452203--1.41461791)×2.71340643218099e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.71340643218099e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.71340643218099e-05×40589641000000     		ar = 32762.4562281792m²