Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18010 / 52513
↖ ↑ ↗
← S 72.869549°
W 81.068115°		 ← 179.91 m → S 72.869549°
W 81.062622°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
S 72.871167°
W 81.068115°		 ← 179.89 m →
32 367 m²		 S 72.871167°
W 81.062622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274818420410156 y=0.801292419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274818420410156 × 216)
    floor (0.274818420410156 × 65536)
    floor (18010.5)     		tx = 18010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.801292419433594 × 216)
    floor (0.801292419433594 × 65536)
    floor (52513.5)     		ty = 52513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18010 / 52513 ti = "16/18010/52513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18010/52513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18010 ÷ 216
    18010 ÷ 65536     		x = 0.274810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52513 ÷ 216
    52513 ÷ 65536     		y = 0.801284790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.45037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41490553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801284790039062 × 2 - 1) × π
    -0.602569580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89302816599602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41490553} λ = -1.41490553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89302816599602))-π/2
    2×atan(0.150615030271601)-π/2
    2×0.149491389870292-π/2
    0.298982779740585-1.57079632675     		φ = -1.27181355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41490553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.068115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27181355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.869549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18010 KachelY 52513 -1.41490553 -1.27181355 -81.068115 -72.869549
    Oben rechts KachelX + 1 18011 KachelY 52513 -1.41480966 -1.27181355 -81.062622 -72.869549
    Unten links KachelX 18010 KachelY + 1 52514 -1.41490553 -1.27184179 -81.068115 -72.871167
    Unten rechts KachelX + 1 18011 KachelY + 1 52514 -1.41480966 -1.27184179 -81.062622 -72.871167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27181355--1.27184179) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27181355--1.27184179) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41490553--1.41480966) × cos(-1.27181355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294548263489785 × 6371000     		do = 179.906477014294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41490553--1.41480966) × cos(-1.27184179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.294521276194617 × 6371000     		du = 179.88999350446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27181355)-sin(-1.27184179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294548263489785-0.294521276194617)×R²
    abs(-1.41480966--1.41490553)×2.69872951673689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.69872951673689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.69872951673689e-05×40589641000000     		ar = 32366.7579912665m²