Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18010 / 23975
↖ ↑ ↗
← S 63.738770°
E 17.863770°		 ← 540.50 m → S 63.738770°
E 17.874756°		 →
↑
540.52 m
↓
↑
540.52 m
↓
S 63.743631°
E 17.863770°		 ← 540.41 m →
292 126 m²		 S 63.743631°
E 17.874756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549636840820312 y=0.731674194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549636840820312 × 215)
    floor (0.549636840820312 × 32768)
    floor (18010.5)     		tx = 18010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731674194335938 × 215)
    floor (0.731674194335938 × 32768)
    floor (23975.5)     		ty = 23975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18010 / 23975 ti = "15/18010/23975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18010/23975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18010 ÷ 215
    18010 ÷ 32768     		x = 0.54962158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23975 ÷ 215
    23975 ÷ 32768     		y = 0.731658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54962158203125 × 2 - 1) × π
    0.0992431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31178160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.46331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45555602006339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31178160} λ = 0.31178160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45555602006339))-π/2
    2×atan(0.233270624688166)-π/2
    2×0.229172461660815-π/2
    0.458344923321631-1.57079632675     		φ = -1.11245140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31178160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.863770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11245140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.738770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18010 KachelY 23975 0.31178160 -1.11245140 17.863770 -63.738770
    Oben rechts KachelX + 1 18011 KachelY 23975 0.31197334 -1.11245140 17.874756 -63.738770
    Unten links KachelX 18010 KachelY + 1 23976 0.31178160 -1.11253624 17.863770 -63.743631
    Unten rechts KachelX + 1 18011 KachelY + 1 23976 0.31197334 -1.11253624 17.874756 -63.743631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11245140--1.11253624) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dl = 540.51563999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11245140--1.11253624) × R
    8.48399999999749e-05 × 6371000     		dr = 540.51563999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31178160-0.31197334) × cos(-1.11245140) × R
    0.000191739999999996 × 0.442464467117439 × 6371000     		do = 540.503770349786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31178160-0.31197334) × cos(-1.11253624) × R
    0.000191739999999996 × 0.442388382197799 × 6371000     		du = 540.410826872991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11245140)-sin(-1.11253624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442464467117439-0.442388382197799)×R²
    abs(0.31197334-0.31178160)×7.60849196400626e-05×R²
    0.000191739999999996×7.60849196400626e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.60849196400626e-05×40589641000000     		ar = 292125.622826504m²