Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1801 / 2649
↖ ↑ ↗
← S 46.619261°
W 21.708984°		 ← 6 712.51 m → S 46.619261°
W 21.621094°		 →
↑
6 708.79 m
↓
↑
6 708.79 m
↓
S 46.679595°
W 21.708984°		 ← 6 705.03 m →
45 007 722 m²		 S 46.679595°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4398193359375 y=0.6468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4398193359375 × 212)
    floor (0.4398193359375 × 4096)
    floor (1801.5)     		tx = 1801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6468505859375 × 212)
    floor (0.6468505859375 × 4096)
    floor (2649.5)     		ty = 2649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1801 / 2649 ti = "12/1801/2649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1801/2649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1801 ÷ 212
    1801 ÷ 4096     		x = 0.439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2649 ÷ 212
    2649 ÷ 4096     		y = 0.646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.12060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37889325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37889325} λ = -0.37889325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.92192245349292))-π/2
    2×atan(0.397753642719098)-π/2
    2×0.37856836344255-π/2
    0.757136726885099-1.57079632675     		φ = -0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37889325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.708984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1801 KachelY 2649 -0.37889325 -0.81365960 -21.708984 -46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 1802 KachelY 2649 -0.37735927 -0.81365960 -21.621094 -46.619261
    Unten links KachelX 1801 KachelY + 1 2650 -0.37889325 -0.81471262 -21.708984 -46.679595
    Unten rechts KachelX + 1 1802 KachelY + 1 2650 -0.37735927 -0.81471262 -21.621094 -46.679595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81365960--0.81471262) × R
    0.00105301999999996 × 6371000     		dl = 6708.79041999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81365960--0.81471262) × R
    0.00105301999999996 × 6371000     		dr = 6708.79041999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37889325--0.37735927) × cos(-0.81365960) × R
    0.00153397999999999 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 6712.5095756971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37889325--0.37735927) × cos(-0.81471262) × R
    0.00153397999999999 × 0.686077498914387 × 6371000     		du = 6705.02618973023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81365960)-sin(-0.81471262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.686077498914387)×R²
    abs(-0.37735927--0.37889325)×0.000765721502389183×R²
    0.00153397999999999×0.000765721502389183×6371000²
    0.00153397999999999×0.000765721502389183×40589641000000     		ar = 45007721.8604626m²