Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1801 / 1287
↖ ↑ ↗
← N 76.770602°
W100.854492°		 ← 1 118.28 m → N 76.770602°
W100.810547°		 →
↑
1 118.68 m
↓
↑
1 118.68 m
↓
N 76.760541°
W100.854492°		 ← 1 119.11 m →
1 251 464 m²		 N 76.760541°
W100.810547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21990966796875 y=0.15716552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21990966796875 × 213)
    floor (0.21990966796875 × 8192)
    floor (1801.5)     		tx = 1801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15716552734375 × 213)
    floor (0.15716552734375 × 8192)
    floor (1287.5)     		ty = 1287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1801 / 1287 ti = "13/1801/1287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1801/1287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1801 ÷ 213
    1801 ÷ 8192     		x = 0.2198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1287 ÷ 213
    1287 ÷ 8192     		y = 0.1571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    0.685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1544760165238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76024295} λ = -1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1544760165238))-π/2
    2×atan(8.62337049130478)-π/2
    2×1.45534804818925-π/2
    2.9106960963785-1.57079632675     		φ = 1.33989977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33989977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.770602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1801 KachelY 1287 -1.76024295 1.33989977 -100.854492 76.770602
    Oben rechts KachelX + 1 1802 KachelY 1287 -1.75947596 1.33989977 -100.810547 76.770602
    Unten links KachelX 1801 KachelY + 1 1288 -1.76024295 1.33972418 -100.854492 76.760541
    Unten rechts KachelX + 1 1802 KachelY + 1 1288 -1.75947596 1.33972418 -100.810547 76.760541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33989977-1.33972418) × R
    0.000175590000000003 × 6371000     		dl = 1118.68389000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33989977-1.33972418) × R
    0.000175590000000003 × 6371000     		dr = 1118.68389000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76024295--1.75947596) × cos(1.33989977) × R
    0.000766990000000023 × 0.228850379014879 × 6371000     		do = 1118.2758414702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76024295--1.75947596) × cos(1.33972418) × R
    0.000766990000000023 × 0.229021305609969 × 6371000     		du = 1119.11107313019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33989977)-sin(1.33972418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228850379014879-0.229021305609969)×R²
    abs(-1.75947596--1.76024295)×0.000170926595090409×R²
    0.000766990000000023×0.000170926595090409×6371000²
    0.000766990000000023×0.000170926595090409×40589641000000     		ar = 1251464.35174463m²