Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18009 / 52185
↖ ↑ ↗
← S 72.330797°
W 81.073608°		 ← 185.39 m → S 72.330797°
W 81.068115°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
S 72.332464°
W 81.073608°		 ← 185.37 m →
34 368 m²		 S 72.332464°
W 81.068115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274803161621094 y=0.796287536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274803161621094 × 216)
    floor (0.274803161621094 × 65536)
    floor (18009.5)     		tx = 18009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796287536621094 × 216)
    floor (0.796287536621094 × 65536)
    floor (52185.5)     		ty = 52185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18009 / 52185 ti = "16/18009/52185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18009/52185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18009 ÷ 216
    18009 ÷ 65536     		x = 0.274795532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52185 ÷ 216
    52185 ÷ 65536     		y = 0.796279907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274795532226562 × 2 - 1) × π
    -0.450408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41500140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796279907226562 × 2 - 1) × π
    -0.592559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86158155984526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41500140} λ = -1.41500140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86158155984526))-π/2
    2×atan(0.155426619378632)-π/2
    2×0.154192883510498-π/2
    0.308385767020996-1.57079632675     		φ = -1.26241056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41500140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.073608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26241056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.330797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18009 KachelY 52185 -1.41500140 -1.26241056 -81.073608 -72.330797
    Oben rechts KachelX + 1 18010 KachelY 52185 -1.41490553 -1.26241056 -81.068115 -72.330797
    Unten links KachelX 18009 KachelY + 1 52186 -1.41500140 -1.26243966 -81.073608 -72.332464
    Unten rechts KachelX + 1 18010 KachelY + 1 52186 -1.41490553 -1.26243966 -81.068115 -72.332464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26241056--1.26243966) × R
    2.91000000001151e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26241056--1.26243966) × R
    2.91000000001151e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41500140--1.41490553) × cos(-1.26241056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303520951187223 × 6371000     		do = 185.386884923919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41500140--1.41490553) × cos(-1.26243966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303493223858062 × 6371000     		du = 185.369949410372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26241056)-sin(-1.26243966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303520951187223-0.303493223858062)×R²
    abs(-1.41490553--1.41500140)×2.77273291607316e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77273291607316e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77273291607316e-05×40589641000000     		ar = 34368.435569559m²