Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18009 / 52183
↖ ↑ ↗
← S 72.327462°
W 81.073608°		 ← 185.42 m → S 72.327462°
W 81.068115°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 72.329130°
W 81.073608°		 ← 185.40 m →
34 387 m²		 S 72.329130°
W 81.068115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274803161621094 y=0.796257019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274803161621094 × 216)
    floor (0.274803161621094 × 65536)
    floor (18009.5)     		tx = 18009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796257019042969 × 216)
    floor (0.796257019042969 × 65536)
    floor (52183.5)     		ty = 52183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18009 / 52183 ti = "16/18009/52183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18009/52183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18009 ÷ 216
    18009 ÷ 65536     		x = 0.274795532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52183 ÷ 216
    52183 ÷ 65536     		y = 0.796249389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274795532226562 × 2 - 1) × π
    -0.450408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41500140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.592498779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86138981224678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41500140} λ = -1.41500140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86138981224678))-π/2
    2×atan(0.155456424917117)-π/2
    2×0.154221985875689-π/2
    0.308443971751377-1.57079632675     		φ = -1.26235235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41500140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.073608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26235235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.327462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18009 KachelY 52183 -1.41500140 -1.26235235 -81.073608 -72.327462
    Oben rechts KachelX + 1 18010 KachelY 52183 -1.41490553 -1.26235235 -81.068115 -72.327462
    Unten links KachelX 18009 KachelY + 1 52184 -1.41500140 -1.26238146 -81.073608 -72.329130
    Unten rechts KachelX + 1 18010 KachelY + 1 52184 -1.41490553 -1.26238146 -81.068115 -72.329130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26235235--1.26238146) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26235235--1.26238146) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41500140--1.41490553) × cos(-1.26235235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303576414602518 × 6371000     		do = 185.420761299663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41500140--1.41490553) × cos(-1.26238146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303548678259359 × 6371000     		du = 185.403820280477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26235235)-sin(-1.26238146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303576414602518-0.303548678259359)×R²
    abs(-1.41490553--1.41500140)×2.77363431590016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77363431590016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77363431590016e-05×40589641000000     		ar = 34386.5282241667m²