Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18009 / 18889
↖ ↑ ↗
← S 26.519735°
E 17.852783°		 ← 1 093.10 m → S 26.519735°
E 17.863770°		 →
↑
1 093.01 m
↓
↑
1 093.01 m
↓
S 26.529565°
E 17.852783°		 ← 1 093.01 m →
1 194 716 m²		 S 26.529565°
E 17.863770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549606323242188 y=0.576461791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549606323242188 × 215)
    floor (0.549606323242188 × 32768)
    floor (18009.5)     		tx = 18009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576461791992188 × 215)
    floor (0.576461791992188 × 32768)
    floor (18889.5)     		ty = 18889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18009 / 18889 ti = "15/18009/18889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18009/18889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18009 ÷ 215
    18009 ÷ 32768     		x = 0.549591064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18889 ÷ 215
    18889 ÷ 32768     		y = 0.576446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549591064453125 × 2 - 1) × π
    0.09918212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31158985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.480327734192963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31158985} λ = 0.31158985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480327734192963))-π/2
    2×atan(0.618580628558648)-π/2
    2×0.553969814483008-π/2
    1.10793962896602-1.57079632675     		φ = -0.46285670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31158985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.852783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46285670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.519735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18009 KachelY 18889 0.31158985 -0.46285670 17.852783 -26.519735
    Oben rechts KachelX + 1 18010 KachelY 18889 0.31178160 -0.46285670 17.863770 -26.519735
    Unten links KachelX 18009 KachelY + 1 18890 0.31158985 -0.46302826 17.852783 -26.529565
    Unten rechts KachelX + 1 18010 KachelY + 1 18890 0.31178160 -0.46302826 17.863770 -26.529565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46285670--0.46302826) × R
    0.000171560000000015 × 6371000     		dl = 1093.0087600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46285670--0.46302826) × R
    0.000171560000000015 × 6371000     		dr = 1093.0087600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31158985-0.31178160) × cos(-0.46285670) × R
    0.000191749999999991 × 0.894780616472346 × 6371000     		do = 1093.09912122176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31158985-0.31178160) × cos(-0.46302826) × R
    0.000191749999999991 × 0.894704000727646 × 6371000     		du = 1093.00552442087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46285670)-sin(-0.46302826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894780616472346-0.894704000727646)×R²
    abs(0.31178160-0.31158985)×7.66157447003035e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66157447003035e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66157447003035e-05×40589641000000     		ar = 1194715.76691276m²