Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18006 / 9910
↖ ↑ ↗
← N 82.049540°
W130.545044°		 ← 42.25 m → N 82.049540°
W130.542297°		 →
↑
42.24 m
↓
↑
42.24 m
↓
N 82.049160°
W130.545044°		 ← 42.25 m →
1 784 m²		 N 82.049160°
W130.542297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137378692626953 y=0.0756111145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137378692626953 × 217)
    floor (0.137378692626953 × 131072)
    floor (18006.5)     		tx = 18006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756111145019531 × 217)
    floor (0.0756111145019531 × 131072)
    floor (9910.5)     		ty = 9910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18006 / 9910 ti = "17/18006/9910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18006/9910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18006 ÷ 217
    18006 ÷ 131072     		x = 0.137374877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9910 ÷ 217
    9910 ÷ 131072     		y = 0.0756072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137374877929688 × 2 - 1) × π
    -0.725250244140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27844084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0756072998046875 × 2 - 1) × π
    0.848785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66653797826524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27844084} λ = -2.27844084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66653797826524))-π/2
    2×atan(14.3900641416392)-π/2
    2×1.50141547432293-π/2
    3.00283094864587-1.57079632675     		φ = 1.43203462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27844084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.545044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43203462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.049540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18006 KachelY 9910 -2.27844084 1.43203462 -130.545044 82.049540
    Oben rechts KachelX + 1 18007 KachelY 9910 -2.27839290 1.43203462 -130.542297 82.049540
    Unten links KachelX 18006 KachelY + 1 9911 -2.27844084 1.43202799 -130.545044 82.049160
    Unten rechts KachelX + 1 18007 KachelY + 1 9911 -2.27839290 1.43202799 -130.542297 82.049160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43203462-1.43202799) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dl = 42.2397300007549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43203462-1.43202799) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dr = 42.2397300007549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27844084--2.27839290) × cos(1.43203462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138316830232302 × 6371000     		do = 42.2455202281276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27844084--2.27839290) × cos(1.43202799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138323396501916 × 6371000     		du = 42.2475257358835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43203462)-sin(1.43202799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138316830232302-0.138323396501916)×R²
    abs(-2.27839290--2.27844084)×6.5662696140667e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.5662696140667e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.5662696140667e-06×40589641000000     		ar = 1784.48172417751m²