Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18005 / 9909
↖ ↑ ↗
← N 82.049920°
W130.547791°		 ← 42.24 m → N 82.049920°
W130.545044°		 →
↑
42.24 m
↓
↑
42.24 m
↓
N 82.049540°
W130.547791°		 ← 42.25 m →
1 784 m²		 N 82.049540°
W130.545044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137371063232422 y=0.0756034851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137371063232422 × 217)
    floor (0.137371063232422 × 131072)
    floor (18005.5)     		tx = 18005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756034851074219 × 217)
    floor (0.0756034851074219 × 131072)
    floor (9909.5)     		ty = 9909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18005 / 9909 ti = "17/18005/9909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18005/9909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18005 ÷ 217
    18005 ÷ 131072     		x = 0.137367248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9909 ÷ 217
    9909 ÷ 131072     		y = 0.0755996704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137367248535156 × 2 - 1) × π
    -0.725265502929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.27848878
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0755996704101562 × 2 - 1) × π
    0.848800659179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.66658591516486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27848878} λ = -2.27848878}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66658591516486))-π/2
    2×atan(14.3907539732336)-π/2
    2×1.5014187894842-π/2
    3.00283757896839-1.57079632675     		φ = 1.43204125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27848878} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.547791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43204125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.049920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18005 KachelY 9909 -2.27848878 1.43204125 -130.547791 82.049920
    Oben rechts KachelX + 1 18006 KachelY 9909 -2.27844084 1.43204125 -130.545044 82.049920
    Unten links KachelX 18005 KachelY + 1 9910 -2.27848878 1.43203462 -130.547791 82.049540
    Unten rechts KachelX + 1 18006 KachelY + 1 9910 -2.27844084 1.43203462 -130.545044 82.049540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43204125-1.43203462) × R
    6.62999999989644e-06 × 6371000     		dl = 42.2397299993402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43204125-1.43203462) × R
    6.62999999989644e-06 × 6371000     		dr = 42.2397299993402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27848878--2.27844084) × cos(1.43204125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138310263956608 × 6371000     		do = 42.2435147185147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27848878--2.27844084) × cos(1.43203462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138316830232302 × 6371000     		du = 42.2455202281276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43204125)-sin(1.43203462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138310263956608-0.138316830232302)×R²
    abs(-2.27844084--2.27848878)×6.56627569381452e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.56627569381452e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.56627569381452e-06×40589641000000     		ar = 1784.39701201152m²