Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18003 / 52561
↖ ↑ ↗
← S 72.947042°
W 81.106568°		 ← 179.14 m → S 72.947042°
W 81.101074°		 →
↑
179.15 m
↓
↑
179.15 m
↓
S 72.948653°
W 81.106568°		 ← 179.12 m →
32 091 m²		 S 72.948653°
W 81.101074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274711608886719 y=0.802024841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274711608886719 × 216)
    floor (0.274711608886719 × 65536)
    floor (18003.5)     		tx = 18003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802024841308594 × 216)
    floor (0.802024841308594 × 65536)
    floor (52561.5)     		ty = 52561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18003 / 52561 ti = "16/18003/52561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18003/52561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18003 ÷ 216
    18003 ÷ 65536     		x = 0.274703979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52561 ÷ 216
    52561 ÷ 65536     		y = 0.802017211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.450592041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41557665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802017211914062 × 2 - 1) × π
    -0.604034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89763010835954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41557665} λ = -1.41557665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89763010835954))-π/2
    2×atan(0.149923500992579)-π/2
    2×0.148815131114841-π/2
    0.297630262229682-1.57079632675     		φ = -1.27316606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41557665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.106568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27316606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.947042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18003 KachelY 52561 -1.41557665 -1.27316606 -81.106568 -72.947042
    Oben rechts KachelX + 1 18004 KachelY 52561 -1.41548077 -1.27316606 -81.101074 -72.947042
    Unten links KachelX 18003 KachelY + 1 52562 -1.41557665 -1.27319418 -81.106568 -72.948653
    Unten rechts KachelX + 1 18004 KachelY + 1 52562 -1.41548077 -1.27319418 -81.101074 -72.948653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27316606--1.27319418) × R
    2.81199999998538e-05 × 6371000     		dl = 179.152519999069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27316606--1.27319418) × R
    2.81199999998538e-05 × 6371000     		dr = 179.152519999069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41557665--1.41548077) × cos(-1.27316606) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293255486413389 × 6371000     		do = 179.135547893621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41557665--1.41548077) × cos(-1.27319418) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293228602618273 × 6371000     		du = 179.119125887586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27316606)-sin(-1.27319418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293255486413389-0.293228602618273)×R²
    abs(-1.41548077--1.41557665)×2.68837951161172e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68837951161172e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68837951161172e-05×40589641000000     		ar = 32091.1138070067m²