Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18002 / 52626
↖ ↑ ↗
← S 73.051439°
W 81.112061°		 ← 178.05 m → S 73.051439°
W 81.106568°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 73.053041°
W 81.112061°		 ← 178.04 m →
31 704 m²		 S 73.053041°
W 81.106568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274696350097656 y=0.803016662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274696350097656 × 216)
    floor (0.274696350097656 × 65536)
    floor (18002.5)     		tx = 18002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.803016662597656 × 216)
    floor (0.803016662597656 × 65536)
    floor (52626.5)     		ty = 52626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18002 / 52626 ti = "16/18002/52626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18002/52626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18002 ÷ 216
    18002 ÷ 65536     		x = 0.274688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52626 ÷ 216
    52626 ÷ 65536     		y = 0.803009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41567252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.803009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.60601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.90386190531015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41567252} λ = -1.41567252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90386190531015))-π/2
    2×atan(0.148992113299985)-π/2
    2×0.147904093900141-π/2
    0.295808187800281-1.57079632675     		φ = -1.27498814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41567252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.112061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27498814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.051439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18002 KachelY 52626 -1.41567252 -1.27498814 -81.112061 -73.051439
    Oben rechts KachelX + 1 18003 KachelY 52626 -1.41557665 -1.27498814 -81.106568 -73.051439
    Unten links KachelX 18002 KachelY + 1 52627 -1.41567252 -1.27501609 -81.112061 -73.053041
    Unten rechts KachelX + 1 18003 KachelY + 1 52627 -1.41557665 -1.27501609 -81.106568 -73.053041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27498814--1.27501609) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27498814--1.27501609) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41567252--1.41557665) × cos(-1.27498814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291513029945544 × 6371000     		do = 178.052593486378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41567252--1.41557665) × cos(-1.27501609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291486293788007 × 6371000     		du = 178.036263368338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27498814)-sin(-1.27501609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291513029945544-0.291486293788007)×R²
    abs(-1.41557665--1.41567252)×2.67361575363445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67361575363445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67361575363445e-05×40589641000000     		ar = 31704.273447522m²