Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18002 / 52623
↖ ↑ ↗
← S 73.046635°
W 81.112061°		 ← 178.10 m → S 73.046635°
W 81.106568°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 73.048237°
W 81.112061°		 ← 178.09 m →
31 724 m²		 S 73.048237°
W 81.106568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274696350097656 y=0.802970886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274696350097656 × 216)
    floor (0.274696350097656 × 65536)
    floor (18002.5)     		tx = 18002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802970886230469 × 216)
    floor (0.802970886230469 × 65536)
    floor (52623.5)     		ty = 52623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18002 / 52623 ti = "16/18002/52623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18002/52623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18002 ÷ 216
    18002 ÷ 65536     		x = 0.274688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52623 ÷ 216
    52623 ÷ 65536     		y = 0.802963256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274688720703125 × 2 - 1) × π
    -0.45062255859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41567252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802963256835938 × 2 - 1) × π
    -0.605926513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.90357428391243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41567252} λ = -1.41567252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.90357428391243))-π/2
    2×atan(0.149034972783218)-π/2
    2×0.147946022360398-π/2
    0.295892044720797-1.57079632675     		φ = -1.27490428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41567252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.112061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27490428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.046635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18002 KachelY 52623 -1.41567252 -1.27490428 -81.112061 -73.046635
    Oben rechts KachelX + 1 18003 KachelY 52623 -1.41557665 -1.27490428 -81.106568 -73.046635
    Unten links KachelX 18002 KachelY + 1 52624 -1.41567252 -1.27493224 -81.112061 -73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 18003 KachelY + 1 52624 -1.41557665 -1.27493224 -81.106568 -73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27490428--1.27493224) × R
    2.79600000001601e-05 × 6371000     		dl = 178.13316000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27490428--1.27493224) × R
    2.79600000001601e-05 × 6371000     		dr = 178.13316000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41567252--1.41557665) × cos(-1.27490428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291593246617109 × 6371000     		do = 178.10158884832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41567252--1.41557665) × cos(-1.27493224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 178.08525330516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27490428)-sin(-1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291593246617109-0.291566501577403)×R²
    abs(-1.41557665--1.41567252)×2.67450397058444e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67450397058444e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67450397058444e-05×40589641000000     		ar = 31724.3438739134m²