Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18002 / 22962
↖ ↑ ↗
← N 75.195618°
W130.556030°		 ← 78.04 m → N 75.195618°
W130.553284°		 →
↑
78.04 m
↓
↑
78.04 m
↓
N 75.194916°
W130.556030°		 ← 78.05 m →
6 091 m²		 N 75.194916°
W130.553284°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137348175048828 y=0.175189971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137348175048828 × 217)
    floor (0.137348175048828 × 131072)
    floor (18002.5)     		tx = 18002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175189971923828 × 217)
    floor (0.175189971923828 × 131072)
    floor (22962.5)     		ty = 22962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18002 / 22962 ti = "17/18002/22962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18002/22962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18002 ÷ 217
    18002 ÷ 131072     		x = 0.137344360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22962 ÷ 217
    22962 ÷ 131072     		y = 0.175186157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137344360351562 × 2 - 1) × π
    -0.725311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27863259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175186157226562 × 2 - 1) × π
    0.649627685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.04086556442427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27863259} λ = -2.27863259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04086556442427))-π/2
    2×atan(7.69726879834292)-π/2
    2×1.44160371978712-π/2
    2.88320743957424-1.57079632675     		φ = 1.31241111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27863259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.556030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31241111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.195618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18002 KachelY 22962 -2.27863259 1.31241111 -130.556030 75.195618
    Oben rechts KachelX + 1 18003 KachelY 22962 -2.27858465 1.31241111 -130.553284 75.195618
    Unten links KachelX 18002 KachelY + 1 22963 -2.27863259 1.31239886 -130.556030 75.194916
    Unten rechts KachelX + 1 18003 KachelY + 1 22963 -2.27858465 1.31239886 -130.553284 75.194916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31241111-1.31239886) × R
    1.22499999999359e-05 × 6371000     		dl = 78.0447499995918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31241111-1.31239886) × R
    1.22499999999359e-05 × 6371000     		dr = 78.0447499995918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27863259--2.27858465) × cos(1.31241111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.255519707092177 × 6371000     		do = 78.0422956231602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27863259--2.27858465) × cos(1.31239886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.255531550420135 × 6371000     		du = 78.0459128803658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31241111)-sin(1.31239886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255519707092177-0.255531550420135)×R²
    abs(-2.27858465--2.27863259)×1.184332795795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.184332795795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.184332795795e-05×40589641000000     		ar = 6090.93260529825m²