Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18000 / 52560
↖ ↑ ↗
← S 72.945431°
W 81.123047°		 ← 179.15 m → S 72.945431°
W 81.117554°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
S 72.947042°
W 81.123047°		 ← 179.14 m →
32 083 m²		 S 72.947042°
W 81.117554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274665832519531 y=0.802009582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274665832519531 × 216)
    floor (0.274665832519531 × 65536)
    floor (18000.5)     		tx = 18000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.802009582519531 × 216)
    floor (0.802009582519531 × 65536)
    floor (52560.5)     		ty = 52560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18000 / 52560 ti = "16/18000/52560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18000/52560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18000 ÷ 216
    18000 ÷ 65536     		x = 0.274658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52560 ÷ 216
    52560 ÷ 65536     		y = 0.802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274658203125 × 2 - 1) × π
    -0.45068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41586427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41586427} λ = -1.41586427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8975342345603))-π/2
    2×atan(0.149937875417269)-π/2
    2×0.148829189517722-π/2
    0.297658379035444-1.57079632675     		φ = -1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41586427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.123047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18000 KachelY 52560 -1.41586427 -1.27313795 -81.123047 -72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 18001 KachelY 52560 -1.41576839 -1.27313795 -81.117554 -72.945431
    Unten links KachelX 18000 KachelY + 1 52561 -1.41586427 -1.27316606 -81.123047 -72.947042
    Unten rechts KachelX + 1 18001 KachelY + 1 52561 -1.41576839 -1.27316606 -81.117554 -72.947042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27313795--1.27316606) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27313795--1.27316606) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41586427--1.41576839) × cos(-1.27313795) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 179.151963918109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41586427--1.41576839) × cos(-1.27316606) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.293255486413389 × 6371000     		du = 179.135547893621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27313795)-sin(-1.27316606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293255486413389)×R²
    abs(-1.41576839--1.41586427)×2.68740029705783e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.68740029705783e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.68740029705783e-05×40589641000000     		ar = 32082.6420663074m²