Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18000 / 19664
↖ ↑ ↗
← S 33.870416°
E 17.753906°		 ← 1 014.33 m → S 33.870416°
E 17.764893°		 →
↑
1 014.26 m
↓
↑
1 014.26 m
↓
S 33.879537°
E 17.753906°		 ← 1 014.22 m →
1 028 740 m²		 S 33.879537°
E 17.764893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549331665039062 y=0.600112915039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549331665039062 × 215)
    floor (0.549331665039062 × 32768)
    floor (18000.5)     		tx = 18000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600112915039062 × 215)
    floor (0.600112915039062 × 32768)
    floor (19664.5)     		ty = 19664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18000 / 19664 ti = "15/18000/19664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18000/19664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18000 ÷ 215
    18000 ÷ 32768     		x = 0.54931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19664 ÷ 215
    19664 ÷ 32768     		y = 0.60009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54931640625 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60009765625 × 2 - 1) × π
    -0.2001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628932123015137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30986412} λ = 0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628932123015137))-π/2
    2×atan(0.533160847315171)-π/2
    2×0.489823028213599-π/2
    0.979646056427198-1.57079632675     		φ = -0.59115027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59115027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.870416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18000 KachelY 19664 0.30986412 -0.59115027 17.753906 -33.870416
    Oben rechts KachelX + 1 18001 KachelY 19664 0.31005587 -0.59115027 17.764893 -33.870416
    Unten links KachelX 18000 KachelY + 1 19665 0.30986412 -0.59130947 17.753906 -33.879537
    Unten rechts KachelX + 1 18001 KachelY + 1 19665 0.31005587 -0.59130947 17.764893 -33.879537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59115027--0.59130947) × R
    0.000159200000000026 × 6371000     		dl = 1014.26320000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59115027--0.59130947) × R
    0.000159200000000026 × 6371000     		dr = 1014.26320000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30986412-0.31005587) × cos(-0.59115027) × R
    0.000191749999999991 × 0.830300164129962 × 6371000     		do = 1014.32726978255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30986412-0.31005587) × cos(-0.59130947) × R
    0.000191749999999991 × 0.830211428827953 × 6371000     		du = 1014.21886725476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59115027)-sin(-0.59130947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830300164129962-0.830211428827953)×R²
    abs(0.31005587-0.30986412)×8.87353020092574e-05×R²
    0.000191749999999991×8.87353020092574e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.87353020092574e-05×40589641000000     		ar = 1028739.85032248m²