Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18000 / 18890
↖ ↑ ↗
← S 26.529565°
E 17.753906°		 ← 1 093.01 m → S 26.529565°
E 17.764893°		 →
↑
1 092.95 m
↓
↑
1 092.95 m
↓
S 26.539394°
E 17.753906°		 ← 1 092.91 m →
1 194 544 m²		 S 26.539394°
E 17.764893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549331665039062 y=0.576492309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549331665039062 × 215)
    floor (0.549331665039062 × 32768)
    floor (18000.5)     		tx = 18000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576492309570312 × 215)
    floor (0.576492309570312 × 32768)
    floor (18890.5)     		ty = 18890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18000 / 18890 ti = "15/18000/18890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18000/18890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18000 ÷ 215
    18000 ÷ 32768     		x = 0.54931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18890 ÷ 215
    18890 ÷ 32768     		y = 0.57647705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54931640625 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57647705078125 × 2 - 1) × π
    -0.1529541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.480519481791443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30986412} λ = 0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480519481791443))-π/2
    2×atan(0.61846202857965)-π/2
    2×0.553884032138391-π/2
    1.10776806427678-1.57079632675     		φ = -0.46302826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46302826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.529565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18000 KachelY 18890 0.30986412 -0.46302826 17.753906 -26.529565
    Oben rechts KachelX + 1 18001 KachelY 18890 0.31005587 -0.46302826 17.764893 -26.529565
    Unten links KachelX 18000 KachelY + 1 18891 0.30986412 -0.46319981 17.753906 -26.539394
    Unten rechts KachelX + 1 18001 KachelY + 1 18891 0.31005587 -0.46319981 17.764893 -26.539394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46302826--0.46319981) × R
    0.000171549999999965 × 6371000     		dl = 1092.94504999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46302826--0.46319981) × R
    0.000171549999999965 × 6371000     		dr = 1092.94504999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30986412-0.31005587) × cos(-0.46302826) × R
    0.000191749999999991 × 0.894704000727646 × 6371000     		do = 1093.00552442087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30986412-0.31005587) × cos(-0.46319981) × R
    0.000191749999999991 × 0.894627363117402 × 6371000     		du = 1092.91190090817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46302826)-sin(-0.46319981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894704000727646-0.894627363117402)×R²
    abs(0.31005587-0.30986412)×7.66376102440125e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66376102440125e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66376102440125e-05×40589641000000     		ar = 1194543.81779017m²