Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1800 / 1380
↖ ↑ ↗
← N 50.513427°
W 21.796875°		 ← 6 214.66 m → N 50.513427°
W 21.708984°		 →
↑
6 218.29 m
↓
↑
6 218.29 m
↓
N 50.457504°
W 21.796875°		 ← 6 222.02 m →
38 667 405 m²		 N 50.457504°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4395751953125 y=0.3370361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4395751953125 × 212)
    floor (0.4395751953125 × 4096)
    floor (1800.5)     		tx = 1800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3370361328125 × 212)
    floor (0.3370361328125 × 4096)
    floor (1380.5)     		ty = 1380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1800 / 1380 ti = "12/1800/1380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1800/1380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1800 ÷ 212
    1800 ÷ 4096     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1380 ÷ 212
    1380 ÷ 4096     		y = 0.3369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3369140625 × 2 - 1) × π
    0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02469916627832))-π/2
    2×atan(2.78625713437049)-π/2
    2×1.22621096806257-π/2
    2.45242193612514-1.57079632675     		φ = 0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1800 KachelY 1380 -0.38042724 0.88162561 -21.796875 50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 1801 KachelY 1380 -0.37889325 0.88162561 -21.708984 50.513427
    Unten links KachelX 1800 KachelY + 1 1381 -0.38042724 0.88064958 -21.796875 50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 1801 KachelY + 1 1381 -0.37889325 0.88064958 -21.708984 50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88162561-0.88064958) × R
    0.000976029999999906 × 6371000     		dl = 6218.2871299994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88162561-0.88064958) × R
    0.000976029999999906 × 6371000     		dr = 6218.2871299994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.37889325) × cos(0.88162561) × R
    0.00153398999999999 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 6214.65709406716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.37889325) × cos(0.88064958) × R
    0.00153398999999999 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 6222.01591944424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88162561)-sin(0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.636650353248546)×R²
    abs(-0.37889325--0.38042724)×0.000752971197191865×R²
    0.00153398999999999×0.000752971197191865×6371000²
    0.00153398999999999×0.000752971197191865×40589641000000     		ar = 38667404.9396249m²