Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17997 / 12796
↖ ↑ ↗
← N 80.874570°
W130.569763°		 ← 48.44 m → N 80.874570°
W130.567016°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
N 80.874134°
W130.569763°		 ← 48.44 m →
2 345 m²		 N 80.874134°
W130.567016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137310028076172 y=0.0976295471191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137310028076172 × 217)
    floor (0.137310028076172 × 131072)
    floor (17997.5)     		tx = 17997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0976295471191406 × 217)
    floor (0.0976295471191406 × 131072)
    floor (12796.5)     		ty = 12796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17997 / 12796 ti = "17/17997/12796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17997/12796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17997 ÷ 217
    17997 ÷ 131072     		x = 0.137306213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12796 ÷ 217
    12796 ÷ 131072     		y = 0.097625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137306213378906 × 2 - 1) × π
    -0.725387573242188 × 3.1415926535     		Λ = -2.27887227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097625732421875 × 2 - 1) × π
    0.80474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52819208596176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27887227} λ = -2.27887227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52819208596176))-π/2
    2×atan(12.5308309802377)-π/2
    2×1.49116192521121-π/2
    2.98232385042242-1.57079632675     		φ = 1.41152752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27887227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.569763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41152752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.874570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17997 KachelY 12796 -2.27887227 1.41152752 -130.569763 80.874570
    Oben rechts KachelX + 1 17998 KachelY 12796 -2.27882433 1.41152752 -130.567016 80.874570
    Unten links KachelX 17997 KachelY + 1 12797 -2.27887227 1.41151992 -130.569763 80.874134
    Unten rechts KachelX + 1 17998 KachelY + 1 12797 -2.27882433 1.41151992 -130.567016 80.874134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41152752-1.41151992) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41152752-1.41151992) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27887227--2.27882433) × cos(1.41152752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158596310207851 × 6371000     		do = 48.4393954064708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27887227--2.27882433) × cos(1.41151992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158603814013961 × 6371000     		du = 48.4416872620047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41152752)-sin(1.41151992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158596310207851-0.158603814013961)×R²
    abs(-2.27882433--2.27887227)×7.50380610969881e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50380610969881e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50380610969881e-06×40589641000000     		ar = 2345.47163508379m²