Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17996 / 52237
↖ ↑ ↗
← S 72.417291°
W 81.145019°		 ← 184.51 m → S 72.417291°
W 81.139526°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
S 72.418950°
W 81.145019°		 ← 184.49 m →
34 041 m²		 S 72.418950°
W 81.139526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274604797363281 y=0.797080993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274604797363281 × 216)
    floor (0.274604797363281 × 65536)
    floor (17996.5)     		tx = 17996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797080993652344 × 216)
    floor (0.797080993652344 × 65536)
    floor (52237.5)     		ty = 52237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17996 / 52237 ti = "16/17996/52237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17996/52237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17996 ÷ 216
    17996 ÷ 65536     		x = 0.27459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52237 ÷ 216
    52237 ÷ 65536     		y = 0.797073364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.4508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41624776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797073364257812 × 2 - 1) × π
    -0.594146728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86656699740575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41624776} λ = -1.41624776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86656699740575))-π/2
    2×atan(0.154653677998903)-π/2
    2×0.153438085580588-π/2
    0.306876171161176-1.57079632675     		φ = -1.26392016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41624776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.145019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26392016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.417291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17996 KachelY 52237 -1.41624776 -1.26392016 -81.145019 -72.417291
    Oben rechts KachelX + 1 17997 KachelY 52237 -1.41615189 -1.26392016 -81.139526 -72.417291
    Unten links KachelX 17996 KachelY + 1 52238 -1.41624776 -1.26394912 -81.145019 -72.418950
    Unten rechts KachelX + 1 17997 KachelY + 1 52238 -1.41615189 -1.26394912 -81.139526 -72.418950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26392016--1.26394912) × R
    2.89599999998558e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26392016--1.26394912) × R
    2.89599999998558e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41624776--1.41615189) × cos(-1.26392016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302082221623087 × 6371000     		do = 184.508126501807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41624776--1.41615189) × cos(-1.26394912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302054614453344 × 6371000     		du = 184.491264380164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26392016)-sin(-1.26394912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302082221623087-0.302054614453344)×R²
    abs(-1.41615189--1.41624776)×2.76071697437041e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76071697437041e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76071697437041e-05×40589641000000     		ar = 34040.9613297506m²