Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17994 / 52230
↖ ↑ ↗
← S 72.405671°
W 81.156006°		 ← 184.63 m → S 72.405671°
W 81.150513°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 72.407332°
W 81.156006°		 ← 184.61 m →
34 086 m²		 S 72.407332°
W 81.150513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274574279785156 y=0.796974182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274574279785156 × 216)
    floor (0.274574279785156 × 65536)
    floor (17994.5)     		tx = 17994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796974182128906 × 216)
    floor (0.796974182128906 × 65536)
    floor (52230.5)     		ty = 52230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17994 / 52230 ti = "16/17994/52230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17994/52230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17994 ÷ 216
    17994 ÷ 65536     		x = 0.274566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52230 ÷ 216
    52230 ÷ 65536     		y = 0.796966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.45086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41643951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.59393310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86589588081107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41643951} λ = -1.41643951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86589588081107))-π/2
    2×atan(0.154757503484243)-π/2
    2×0.153539484209336-π/2
    0.307078968418672-1.57079632675     		φ = -1.26371736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41643951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.156006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26371736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.405671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17994 KachelY 52230 -1.41643951 -1.26371736 -81.156006 -72.405671
    Oben rechts KachelX + 1 17995 KachelY 52230 -1.41634364 -1.26371736 -81.150513 -72.405671
    Unten links KachelX 17994 KachelY + 1 52231 -1.41643951 -1.26374634 -81.156006 -72.407332
    Unten rechts KachelX + 1 17995 KachelY + 1 52231 -1.41634364 -1.26374634 -81.150513 -72.407332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26371736--1.26374634) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26371736--1.26374634) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41643951--1.41634364) × cos(-1.26371736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302275540973824 × 6371000     		do = 184.626203596941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41643951--1.41634364) × cos(-1.26374634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.302247916514135 × 6371000     		du = 184.609330914811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26371736)-sin(-1.26374634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302275540973824-0.302247916514135)×R²
    abs(-1.41634364--1.41643951)×2.76244596886799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.76244596886799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.76244596886799e-05×40589641000000     		ar = 34086.270067053m²