Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17994 / 18884
↖ ↑ ↗
← S 26.470573°
E 17.687988°		 ← 1 093.57 m → S 26.470573°
E 17.698975°		 →
↑
1 093.52 m
↓
↑
1 093.52 m
↓
S 26.480407°
E 17.687988°		 ← 1 093.47 m →
1 195 784 m²		 S 26.480407°
E 17.698975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549148559570312 y=0.576309204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549148559570312 × 215)
    floor (0.549148559570312 × 32768)
    floor (17994.5)     		tx = 17994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576309204101562 × 215)
    floor (0.576309204101562 × 32768)
    floor (18884.5)     		ty = 18884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17994 / 18884 ti = "15/17994/18884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17994/18884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17994 ÷ 215
    17994 ÷ 32768     		x = 0.54913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18884 ÷ 215
    18884 ÷ 32768     		y = 0.5762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54913330078125 × 2 - 1) × π
    0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.152587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.479368996200562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30871363} λ = 0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479368996200562))-π/2
    2×atan(0.619173969692505)-π/2
    2×0.554398836338565-π/2
    1.10879767267713-1.57079632675     		φ = -0.46199865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46199865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.470573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17994 KachelY 18884 0.30871363 -0.46199865 17.687988 -26.470573
    Oben rechts KachelX + 1 17995 KachelY 18884 0.30890538 -0.46199865 17.698975 -26.470573
    Unten links KachelX 17994 KachelY + 1 18885 0.30871363 -0.46217029 17.687988 -26.480407
    Unten rechts KachelX + 1 17995 KachelY + 1 18885 0.30890538 -0.46217029 17.698975 -26.480407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46199865--0.46217029) × R
    0.000171639999999973 × 6371000     		dl = 1093.51843999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46199865--0.46217029) × R
    0.000171639999999973 × 6371000     		dr = 1093.51843999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30871363-0.30890538) × cos(-0.46199865) × R
    0.000191749999999991 × 0.895163411546397 × 6371000     		do = 1093.56675870893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30871363-0.30890538) × cos(-0.46217029) × R
    0.000191749999999991 × 0.895086891870931 × 6371000     		du = 1093.47327926998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46199865)-sin(-0.46217029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895163411546397-0.895086891870931)×R²
    abs(0.30890538-0.30871363)×7.65196754665132e-05×R²
    0.000191749999999991×7.65196754665132e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.65196754665132e-05×40589641000000     		ar = 1195784.30820996m²