Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17992 / 9912
↖ ↑ ↗
← N 82.048780°
W130.583496°		 ← 42.25 m → N 82.048780°
W130.580750°		 →
↑
42.24 m
↓
↑
42.24 m
↓
N 82.048400°
W130.583496°		 ← 42.25 m →
1 785 m²		 N 82.048400°
W130.580750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137271881103516 y=0.0756263732910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137271881103516 × 217)
    floor (0.137271881103516 × 131072)
    floor (17992.5)     		tx = 17992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756263732910156 × 217)
    floor (0.0756263732910156 × 131072)
    floor (9912.5)     		ty = 9912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17992 / 9912 ti = "17/17992/9912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17992/9912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17992 ÷ 217
    17992 ÷ 131072     		x = 0.13726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9912 ÷ 217
    9912 ÷ 131072     		y = 0.07562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.7254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27911196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07562255859375 × 2 - 1) × π
    0.8487548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.666442104466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27911196} λ = -2.27911196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.666442104466))-π/2
    2×atan(14.3886845776517)-π/2
    2×1.50140884352822-π/2
    3.00281768705643-1.57079632675     		φ = 1.43202136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27911196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43202136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.048780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17992 KachelY 9912 -2.27911196 1.43202136 -130.583496 82.048780
    Oben rechts KachelX + 1 17993 KachelY 9912 -2.27906402 1.43202136 -130.580750 82.048780
    Unten links KachelX 17992 KachelY + 1 9913 -2.27911196 1.43201473 -130.583496 82.048400
    Unten rechts KachelX + 1 17993 KachelY + 1 9913 -2.27906402 1.43201473 -130.580750 82.048400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43202136-1.43201473) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dl = 42.2397300007549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43202136-1.43201473) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dr = 42.2397300007549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27911196--2.27906402) × cos(1.43202136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13832996276545 × 6371000     		do = 42.2495312417823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27911196--2.27906402) × cos(1.43201473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138336529022903 × 6371000     		du = 42.2515367458239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43202136)-sin(1.43201473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13832996276545-0.138336529022903)×R²
    abs(-2.27906402--2.27911196)×6.5662574532388e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.5662574532388e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.5662574532388e-06×40589641000000     		ar = 1784.65114829346m²