Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17991 / 9923
↖ ↑ ↗
← N 82.044600°
W130.586243°		 ← 42.26 m → N 82.044600°
W130.583496°		 →
↑
42.30 m
↓
↑
42.30 m
↓
N 82.044219°
W130.586243°		 ← 42.26 m →
1 788 m²		 N 82.044219°
W130.583496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137264251708984 y=0.0757102966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137264251708984 × 217)
    floor (0.137264251708984 × 131072)
    floor (17991.5)     		tx = 17991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0757102966308594 × 217)
    floor (0.0757102966308594 × 131072)
    floor (9923.5)     		ty = 9923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17991 / 9923 ti = "17/17991/9923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17991/9923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17991 ÷ 217
    17991 ÷ 131072     		x = 0.137260437011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9923 ÷ 217
    9923 ÷ 131072     		y = 0.0757064819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137260437011719 × 2 - 1) × π
    -0.725479125976562 × 3.1415926535     		Λ = -2.27915989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0757064819335938 × 2 - 1) × π
    0.848587036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.66591479857018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27915989} λ = -2.27915989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66591479857018))-π/2
    2×atan(14.381099339487)-π/2
    2×1.50137236290092-π/2
    3.00274472580184-1.57079632675     		φ = 1.43194840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27915989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.586243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43194840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.044600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17991 KachelY 9923 -2.27915989 1.43194840 -130.586243 82.044600
    Oben rechts KachelX + 1 17992 KachelY 9923 -2.27911196 1.43194840 -130.583496 82.044600
    Unten links KachelX 17991 KachelY + 1 9924 -2.27915989 1.43194176 -130.586243 82.044219
    Unten rechts KachelX + 1 17992 KachelY + 1 9924 -2.27911196 1.43194176 -130.583496 82.044219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43194840-1.43194176) × R
    6.64000000005771e-06 × 6371000     		dl = 42.3034400003677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43194840-1.43194176) × R
    6.64000000005771e-06 × 6371000     		dr = 42.3034400003677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27915989--2.27911196) × cos(1.43194840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138402220974223 × 6371000     		do = 42.2627831532233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27915989--2.27911196) × cos(1.43194176) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138408797068496 × 6371000     		du = 42.2647912427197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43194840)-sin(1.43194176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138402220974223-0.138408797068496)×R²
    abs(-2.27911196--2.27915989)×6.57609427232031e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.57609427232031e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.57609427232031e-06×40589641000000     		ar = 1787.90358594766m²