Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17990 / 23952
↖ ↑ ↗
← S 63.626745°
E 17.644043°		 ← 542.67 m → S 63.626745°
E 17.655029°		 →
↑
542.62 m
↓
↑
542.62 m
↓
S 63.631625°
E 17.644043°		 ← 542.58 m →
294 439 m²		 S 63.631625°
E 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549026489257812 y=0.730972290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549026489257812 × 215)
    floor (0.549026489257812 × 32768)
    floor (17990.5)     		tx = 17990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730972290039062 × 215)
    floor (0.730972290039062 × 32768)
    floor (23952.5)     		ty = 23952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17990 / 23952 ti = "15/17990/23952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17990/23952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17990 ÷ 215
    17990 ÷ 32768     		x = 0.54901123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23952 ÷ 215
    23952 ÷ 32768     		y = 0.73095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54901123046875 × 2 - 1) × π
    0.0980224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.30794664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45114582529834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30794664} λ = 0.30794664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45114582529834))-π/2
    2×atan(0.234301665450161)-π/2
    2×0.230150070218353-π/2
    0.460300140436706-1.57079632675     		φ = -1.11049619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30794664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.644043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11049619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.626745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17990 KachelY 23952 0.30794664 -1.11049619 17.644043 -63.626745
    Oben rechts KachelX + 1 17991 KachelY 23952 0.30813839 -1.11049619 17.655029 -63.626745
    Unten links KachelX 17990 KachelY + 1 23953 0.30794664 -1.11058136 17.644043 -63.631625
    Unten rechts KachelX + 1 17991 KachelY + 1 23953 0.30813839 -1.11058136 17.655029 -63.631625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11049619--1.11058136) × R
    8.51699999999678e-05 × 6371000     		dl = 542.618069999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11049619--1.11058136) × R
    8.51699999999678e-05 × 6371000     		dr = 542.618069999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30794664-0.30813839) × cos(-1.11049619) × R
    0.000191749999999991 × 0.444217025290261 × 6371000     		do = 542.672953612798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30794664-0.30813839) × cos(-1.11058136) × R
    0.000191749999999991 × 0.444140718239907 × 6371000     		du = 542.579733925034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11049619)-sin(-1.11058136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444217025290261-0.444140718239907)×R²
    abs(0.30813839-0.30794664)×7.63070503536634e-05×R²
    0.000191749999999991×7.63070503536634e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.63070503536634e-05×40589641000000     		ar = 294438.859565163m²