Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17990 / 11332
↖ ↑ ↗
← N 75.403318°
W 81.177979°		 ← 153.94 m → N 75.403318°
W 81.172485°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 75.401933°
W 81.177979°		 ← 153.96 m →
23 696 m²		 N 75.401933°
W 81.172485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274513244628906 y=0.172920227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274513244628906 × 216)
    floor (0.274513244628906 × 65536)
    floor (17990.5)     		tx = 17990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172920227050781 × 216)
    floor (0.172920227050781 × 65536)
    floor (11332.5)     		ty = 11332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17990 / 11332 ti = "16/17990/11332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17990/11332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17990 ÷ 216
    17990 ÷ 65536     		x = 0.274505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11332 ÷ 216
    11332 ÷ 65536     		y = 0.17291259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274505615234375 × 2 - 1) × π
    -0.45098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41682301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17291259765625 × 2 - 1) × π
    0.6541748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05515076051105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41682301} λ = -1.41682301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05515076051105))-π/2
    2×atan(7.80801492422746)-π/2
    2×1.44341624512839-π/2
    2.88683249025679-1.57079632675     		φ = 1.31603616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41682301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.177979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31603616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.403318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17990 KachelY 11332 -1.41682301 1.31603616 -81.177979 75.403318
    Oben rechts KachelX + 1 17991 KachelY 11332 -1.41672713 1.31603616 -81.172485 75.403318
    Unten links KachelX 17990 KachelY + 1 11333 -1.41682301 1.31601200 -81.177979 75.401933
    Unten rechts KachelX + 1 17991 KachelY + 1 11333 -1.41672713 1.31601200 -81.172485 75.401933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31603616-1.31601200) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dl = 153.923359999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31603616-1.31601200) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dr = 153.923359999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41682301--1.41672713) × cos(1.31603616) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.252013323592363 × 6371000     		do = 153.94271169637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41682301--1.41672713) × cos(1.31601200) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.252036703724965 × 6371000     		du = 153.956993484972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31603616)-sin(1.31601200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252013323592363-0.252036703724965)×R²
    abs(-1.41672713--1.41682301)×2.33801326016136e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.33801326016136e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.33801326016136e-05×40589641000000     		ar = 23696.4785834316m²