Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1799 / 2681
↖ ↑ ↗
← S 48.516604°
W 21.884766°		 ← 6 473.66 m → S 48.516604°
W 21.796875°		 →
↑
6 469.94 m
↓
↑
6 469.94 m
↓
S 48.574790°
W 21.884766°		 ← 6 466.22 m →
41 860 113 m²		 S 48.574790°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4393310546875 y=0.6546630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4393310546875 × 212)
    floor (0.4393310546875 × 4096)
    floor (1799.5)     		tx = 1799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6546630859375 × 212)
    floor (0.6546630859375 × 4096)
    floor (2681.5)     		ty = 2681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1799 / 2681 ti = "12/1799/2681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1799/2681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1799 ÷ 212
    1799 ÷ 4096     		x = 0.439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2681 ÷ 212
    2681 ÷ 4096     		y = 0.654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.12158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38196122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38196122} λ = -0.38196122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971009838703857))-π/2
    2×atan(0.378700418604051)-π/2
    2×0.362010919519072-π/2
    0.724021839038143-1.57079632675     		φ = -0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38196122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.884766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1799 KachelY 2681 -0.38196122 -0.84677449 -21.884766 -48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 1800 KachelY 2681 -0.38042724 -0.84677449 -21.796875 -48.516604
    Unten links KachelX 1799 KachelY + 1 2682 -0.38196122 -0.84779002 -21.884766 -48.574790
    Unten rechts KachelX + 1 1800 KachelY + 1 2682 -0.38042724 -0.84779002 -21.796875 -48.574790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84677449--0.84779002) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dl = 6469.94162999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84677449--0.84779002) × R
    0.00101552999999999 × 6371000     		dr = 6469.94162999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38196122--0.38042724) × cos(-0.84677449) × R
    0.00153397999999999 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 6473.65534556284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38196122--0.38042724) × cos(-0.84779002) × R
    0.00153397999999999 × 0.661641847521221 × 6371000     		du = 6466.21689659126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84677449)-sin(-0.84779002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.661641847521221)×R²
    abs(-0.38042724--0.38196122)×0.000761123420225052×R²
    0.00153397999999999×0.000761123420225052×6371000²
    0.00153397999999999×0.000761123420225052×40589641000000     		ar = 41860112.6507238m²