Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17989 / 23917
↖ ↑ ↗
← S 63.455420°
E 17.633057°		 ← 545.91 m → S 63.455420°
E 17.644043°		 →
↑
545.87 m
↓
↑
545.87 m
↓
S 63.460329°
E 17.633057°		 ← 545.82 m →
297 971 m²		 S 63.460329°
E 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548995971679688 y=0.729904174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548995971679688 × 215)
    floor (0.548995971679688 × 32768)
    floor (17989.5)     		tx = 17989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729904174804688 × 215)
    floor (0.729904174804688 × 32768)
    floor (23917.5)     		ty = 23917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17989 / 23917 ti = "15/17989/23917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17989/23917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17989 ÷ 215
    17989 ÷ 32768     		x = 0.548980712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23917 ÷ 215
    23917 ÷ 32768     		y = 0.729888916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548980712890625 × 2 - 1) × π
    0.09796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30775490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729888916015625 × 2 - 1) × π
    -0.45977783203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44443465935153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30775490} λ = 0.30775490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44443465935153))-π/2
    2×atan(0.235879391076165)-π/2
    2×0.231645165344848-π/2
    0.463290330689696-1.57079632675     		φ = -1.10750600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30775490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.633057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10750600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.455420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17989 KachelY 23917 0.30775490 -1.10750600 17.633057 -63.455420
    Oben rechts KachelX + 1 17990 KachelY 23917 0.30794664 -1.10750600 17.644043 -63.455420
    Unten links KachelX 17989 KachelY + 1 23918 0.30775490 -1.10759168 17.633057 -63.460329
    Unten rechts KachelX + 1 17990 KachelY + 1 23918 0.30794664 -1.10759168 17.644043 -63.460329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10750600--1.10759168) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dl = 545.867279999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10750600--1.10759168) × R
    8.56799999999769e-05 × 6371000     		dr = 545.867279999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30775490-0.30794664) × cos(-1.10750600) × R
    0.000191739999999996 × 0.446894004043395 × 6371000     		do = 545.91478431206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30775490-0.30794664) × cos(-1.10759168) × R
    0.000191739999999996 × 0.446817354196241 × 6371000     		du = 545.821150733633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10750600)-sin(-1.10759168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446894004043395-0.446817354196241)×R²
    abs(0.30794664-0.30775490)×7.66498471533872e-05×R²
    0.000191739999999996×7.66498471533872e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.66498471533872e-05×40589641000000     		ar = 297971.462852732m²