Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17988 / 23913
↖ ↑ ↗
← S 63.435774°
E 17.622070°		 ← 546.32 m → S 63.435774°
E 17.633057°		 →
↑
546.25 m
↓
↑
546.25 m
↓
S 63.440687°
E 17.622070°		 ← 546.22 m →
298 400 m²		 S 63.440687°
E 17.633057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548965454101562 y=0.729782104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548965454101562 × 215)
    floor (0.548965454101562 × 32768)
    floor (17988.5)     		tx = 17988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729782104492188 × 215)
    floor (0.729782104492188 × 32768)
    floor (23913.5)     		ty = 23913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17988 / 23913 ti = "15/17988/23913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17988/23913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17988 ÷ 215
    17988 ÷ 32768     		x = 0.5489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23913 ÷ 215
    23913 ÷ 32768     		y = 0.729766845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5489501953125 × 2 - 1) × π
    0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.45953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.44366766895761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30756315} λ = 0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44366766895761))-π/2
    2×atan(0.236060377701874)-π/2
    2×0.231816605856261-π/2
    0.463633211712522-1.57079632675     		φ = -1.10716312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10716312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.435774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17988 KachelY 23913 0.30756315 -1.10716312 17.622070 -63.435774
    Oben rechts KachelX + 1 17989 KachelY 23913 0.30775490 -1.10716312 17.633057 -63.435774
    Unten links KachelX 17988 KachelY + 1 23914 0.30756315 -1.10724886 17.622070 -63.440687
    Unten rechts KachelX + 1 17989 KachelY + 1 23914 0.30775490 -1.10724886 17.633057 -63.440687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10716312--1.10724886) × R
    8.57399999998343e-05 × 6371000     		dl = 546.249539998944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10716312--1.10724886) × R
    8.57399999998343e-05 × 6371000     		dr = 546.249539998944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30756315-0.30775490) × cos(-1.10716312) × R
    0.000191749999999991 × 0.447200713729001 × 6371000     		do = 546.317944519335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30756315-0.30775490) × cos(-1.10724886) × R
    0.000191749999999991 × 0.447124023345743 × 6371000     		du = 546.22425653705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10716312)-sin(-1.10724886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447200713729001-0.447124023345743)×R²
    abs(0.30775490-0.30756315)×7.66903832577492e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66903832577492e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66903832577492e-05×40589641000000     		ar = 298400.337560982m²