Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17988 / 11334
↖ ↑ ↗
← N 75.400549°
W 81.188965°		 ← 153.96 m → N 75.400549°
W 81.183472°		 →
↑
153.99 m
↓
↑
153.99 m
↓
N 75.399164°
W 81.188965°		 ← 153.97 m →
23 708 m²		 N 75.399164°
W 81.183472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274482727050781 y=0.172950744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274482727050781 × 216)
    floor (0.274482727050781 × 65536)
    floor (17988.5)     		tx = 17988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172950744628906 × 216)
    floor (0.172950744628906 × 65536)
    floor (11334.5)     		ty = 11334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17988 / 11334 ti = "16/17988/11334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17988/11334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17988 ÷ 216
    17988 ÷ 65536     		x = 0.27447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11334 ÷ 216
    11334 ÷ 65536     		y = 0.172943115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.4510498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41701475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172943115234375 × 2 - 1) × π
    0.65411376953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05495901291257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41701475} λ = -1.41701475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05495901291257))-π/2
    2×atan(7.80651789964686)-π/2
    2×1.44339208141211-π/2
    2.88678416282422-1.57079632675     		φ = 1.31598784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41701475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.188965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31598784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.400549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17988 KachelY 11334 -1.41701475 1.31598784 -81.188965 75.400549
    Oben rechts KachelX + 1 17989 KachelY 11334 -1.41691888 1.31598784 -81.183472 75.400549
    Unten links KachelX 17988 KachelY + 1 11335 -1.41701475 1.31596367 -81.188965 75.399164
    Unten rechts KachelX + 1 17989 KachelY + 1 11335 -1.41691888 1.31596367 -81.183472 75.399164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31598784-1.31596367) × R
    2.41700000001011e-05 × 6371000     		dl = 153.987070000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31598784-1.31596367) × R
    2.41700000001011e-05 × 6371000     		dr = 153.987070000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41701475--1.41691888) × cos(1.31598784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252060083710451 × 6371000     		do = 153.955216435517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41701475--1.41691888) × cos(1.31596367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252083473225864 × 6371000     		du = 153.969502465477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31598784)-sin(1.31596367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252060083710451-0.252083473225864)×R²
    abs(-1.41691888--1.41701475)×2.33895154126418e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33895154126418e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33895154126418e-05×40589641000000     		ar = 23708.2126234477m²