Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17987 / 9927
↖ ↑ ↗
← N 82.043079°
W130.597229°		 ← 42.28 m → N 82.043079°
W130.594482°		 →
↑
42.30 m
↓
↑
42.30 m
↓
N 82.042699°
W130.597229°		 ← 42.28 m →
1 789 m²		 N 82.042699°
W130.594482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137233734130859 y=0.0757408142089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137233734130859 × 217)
    floor (0.137233734130859 × 131072)
    floor (17987.5)     		tx = 17987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0757408142089844 × 217)
    floor (0.0757408142089844 × 131072)
    floor (9927.5)     		ty = 9927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17987 / 9927 ti = "17/17987/9927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17987/9927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17987 ÷ 217
    17987 ÷ 131072     		x = 0.137229919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9927 ÷ 217
    9927 ÷ 131072     		y = 0.0757369995117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137229919433594 × 2 - 1) × π
    -0.725540161132812 × 3.1415926535     		Λ = -2.27935164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0757369995117188 × 2 - 1) × π
    0.848526000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.6657230509717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27935164} λ = -2.27935164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6657230509717))-π/2
    2×atan(14.3783420625842)-π/2
    2×1.50135909249408-π/2
    3.00271818498816-1.57079632675     		φ = 1.43192186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27935164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.597229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43192186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.043079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17987 KachelY 9927 -2.27935164 1.43192186 -130.597229 82.043079
    Oben rechts KachelX + 1 17988 KachelY 9927 -2.27930370 1.43192186 -130.594482 82.043079
    Unten links KachelX 17987 KachelY + 1 9928 -2.27935164 1.43191522 -130.597229 82.042699
    Unten rechts KachelX + 1 17988 KachelY + 1 9928 -2.27930370 1.43191522 -130.594482 82.042699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43192186-1.43191522) × R
    6.64000000005771e-06 × 6371000     		dl = 42.3034400003677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43192186-1.43191522) × R
    6.64000000005771e-06 × 6371000     		dr = 42.3034400003677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27935164--2.27930370) × cos(1.43192186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138428505507248 × 6371000     		do = 42.2796287316176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27935164--2.27930370) × cos(1.43191522) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.138435081577128 × 6371000     		du = 42.2816372326268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43192186)-sin(1.43191522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138428505507248-0.138435081577128)×R²
    abs(-2.27930370--2.27935164)×6.57606987941595e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.57606987941595e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.57606987941595e-06×40589641000000     		ar = 1788.6162204706m²