Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17987 / 52158
↖ ↑ ↗
← S 72.285725°
W 81.194458°		 ← 185.86 m → S 72.285725°
W 81.188965°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
S 72.287396°
W 81.194458°		 ← 185.85 m →
34 540 m²		 S 72.287396°
W 81.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274467468261719 y=0.795875549316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274467468261719 × 216)
    floor (0.274467468261719 × 65536)
    floor (17987.5)     		tx = 17987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795875549316406 × 216)
    floor (0.795875549316406 × 65536)
    floor (52158.5)     		ty = 52158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17987 / 52158 ti = "16/17987/52158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17987/52158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17987 ÷ 216
    17987 ÷ 65536     		x = 0.274459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52158 ÷ 216
    52158 ÷ 65536     		y = 0.795867919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.451080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41711063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795867919921875 × 2 - 1) × π
    -0.59173583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85899296726578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41711063} λ = -1.41711063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85899296726578))-π/2
    2×atan(0.155829476764073)-π/2
    2×0.154586214382265-π/2
    0.309172428764531-1.57079632675     		φ = -1.26162390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41711063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.194458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26162390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.285725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17987 KachelY 52158 -1.41711063 -1.26162390 -81.194458 -72.285725
    Oben rechts KachelX + 1 17988 KachelY 52158 -1.41701475 -1.26162390 -81.188965 -72.285725
    Unten links KachelX 17987 KachelY + 1 52159 -1.41711063 -1.26165307 -81.194458 -72.287396
    Unten rechts KachelX + 1 17988 KachelY + 1 52159 -1.41701475 -1.26165307 -81.188965 -72.287396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26162390--1.26165307) × R
    2.91699999999118e-05 × 6371000     		dl = 185.842069999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26162390--1.26165307) × R
    2.91699999999118e-05 × 6371000     		dr = 185.842069999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41711063--1.41701475) × cos(-1.26162390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304270406324769 × 6371000     		do = 185.864028023564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41711063--1.41701475) × cos(-1.26165307) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304242619270393 × 6371000     		du = 185.847054260274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26162390)-sin(-1.26165307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304270406324769-0.304242619270393)×R²
    abs(-1.41701475--1.41711063)×2.77870543762271e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.77870543762271e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.77870543762271e-05×40589641000000     		ar = 34539.7784892482m²