Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17987 / 11331
↖ ↑ ↗
← N 75.404702°
W 81.194458°		 ← 153.93 m → N 75.404702°
W 81.188965°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 75.403318°
W 81.194458°		 ← 153.94 m →
23 694 m²		 N 75.403318°
W 81.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274467468261719 y=0.172904968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274467468261719 × 216)
    floor (0.274467468261719 × 65536)
    floor (17987.5)     		tx = 17987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172904968261719 × 216)
    floor (0.172904968261719 × 65536)
    floor (11331.5)     		ty = 11331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17987 / 11331 ti = "16/17987/11331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17987/11331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17987 ÷ 216
    17987 ÷ 65536     		x = 0.274459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11331 ÷ 216
    11331 ÷ 65536     		y = 0.172897338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274459838867188 × 2 - 1) × π
    -0.451080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41711063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172897338867188 × 2 - 1) × π
    0.654205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05524663431029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41711063} λ = -1.41711063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05524663431029))-π/2
    2×atan(7.80876354416872)-π/2
    2×1.44342832530522-π/2
    2.88685665061045-1.57079632675     		φ = 1.31606032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41711063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.194458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31606032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.404702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17987 KachelY 11331 -1.41711063 1.31606032 -81.194458 75.404702
    Oben rechts KachelX + 1 17988 KachelY 11331 -1.41701475 1.31606032 -81.188965 75.404702
    Unten links KachelX 17987 KachelY + 1 11332 -1.41711063 1.31603616 -81.194458 75.403318
    Unten rechts KachelX + 1 17988 KachelY + 1 11332 -1.41701475 1.31603616 -81.188965 75.403318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31606032-1.31603616) × R
    2.41600000001618e-05 × 6371000     		dl = 153.923360001031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31606032-1.31603616) × R
    2.41600000001618e-05 × 6371000     		dr = 153.923360001031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41711063--1.41701475) × cos(1.31606032) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.25198994331266 × 6371000     		do = 153.928429817554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41711063--1.41701475) × cos(1.31603616) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.252013323592363 × 6371000     		du = 153.942711696013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31606032)-sin(1.31603616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25198994331266-0.252013323592363)×R²
    abs(-1.41701475--1.41711063)×2.33802797033889e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.33802797033889e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.33802797033889e-05×40589641000000     		ar = 23694.2802758485m²