Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17986 / 52418
↖ ↑ ↗
← S 72.715168°
W 81.199951°		 ← 181.48 m → S 72.715168°
W 81.194458°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 72.716800°
W 81.199951°		 ← 181.46 m →
32 939 m²		 S 72.716800°
W 81.194458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274452209472656 y=0.799842834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274452209472656 × 216)
    floor (0.274452209472656 × 65536)
    floor (17986.5)     		tx = 17986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799842834472656 × 216)
    floor (0.799842834472656 × 65536)
    floor (52418.5)     		ty = 52418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17986 / 52418 ti = "16/17986/52418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17986/52418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17986 ÷ 216
    17986 ÷ 65536     		x = 0.274444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52418 ÷ 216
    52418 ÷ 65536     		y = 0.799835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41720650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.59967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88392015506821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41720650} λ = -1.41720650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88392015506821))-π/2
    2×atan(0.151993099822908)-π/2
    2×0.150838617258523-π/2
    0.301677234517047-1.57079632675     		φ = -1.26911909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41720650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26911909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.715168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17986 KachelY 52418 -1.41720650 -1.26911909 -81.199951 -72.715168
    Oben rechts KachelX + 1 17987 KachelY 52418 -1.41711063 -1.26911909 -81.194458 -72.715168
    Unten links KachelX 17986 KachelY + 1 52419 -1.41720650 -1.26914758 -81.199951 -72.716800
    Unten rechts KachelX + 1 17987 KachelY + 1 52419 -1.41711063 -1.26914758 -81.194458 -72.716800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26911909--1.26914758) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26911909--1.26914758) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41720650--1.41711063) × cos(-1.26911909) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297122115753865 × 6371000     		do = 181.478554498981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41720650--1.41711063) × cos(-1.26914758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297094912256264 × 6371000     		du = 181.461938935345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26911909)-sin(-1.26914758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297122115753865-0.297094912256264)×R²
    abs(-1.41711063--1.41720650)×2.72034976008251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72034976008251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72034976008251e-05×40589641000000     		ar = 32938.6263750562m²