Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17986 / 52416
↖ ↑ ↗
← S 72.711903°
W 81.199951°		 ← 181.51 m → S 72.711903°
W 81.194458°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 72.713535°
W 81.199951°		 ← 181.50 m →
32 945 m²		 S 72.713535°
W 81.194458°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274452209472656 y=0.799812316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274452209472656 × 216)
    floor (0.274452209472656 × 65536)
    floor (17986.5)     		tx = 17986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799812316894531 × 216)
    floor (0.799812316894531 × 65536)
    floor (52416.5)     		ty = 52416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17986 / 52416 ti = "16/17986/52416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17986/52416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17986 ÷ 216
    17986 ÷ 65536     		x = 0.274444580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52416 ÷ 216
    52416 ÷ 65536     		y = 0.7998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.45111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41720650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    -0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41720650} λ = -1.41720650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88372840746973))-π/2
    2×atan(0.152022246929139)-π/2
    2×0.15086710609228-π/2
    0.30173421218456-1.57079632675     		φ = -1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41720650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.199951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17986 KachelY 52416 -1.41720650 -1.26906211 -81.199951 -72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 17987 KachelY 52416 -1.41711063 -1.26906211 -81.194458 -72.711903
    Unten links KachelX 17986 KachelY + 1 52417 -1.41720650 -1.26909060 -81.199951 -72.713535
    Unten rechts KachelX + 1 17987 KachelY + 1 52417 -1.41711063 -1.26909060 -81.194458 -72.713535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26906211--1.26909060) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dl = 181.509790000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26906211--1.26909060) × R
    2.84900000000476e-05 × 6371000     		dr = 181.509790000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41720650--1.41711063) × cos(-1.26906211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 181.511785184332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41720650--1.41711063) × cos(-1.26909060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297149319010298 × 6371000     		du = 181.495169915314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26906211)-sin(-1.26909060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.297149319010298)×R²
    abs(-1.41711063--1.41720650)×2.72030152424496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72030152424496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72030152424496e-05×40589641000000     		ar = 32944.6580964684m²