Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17985 / 52421
↖ ↑ ↗
← S 72.720063°
W 81.205444°		 ← 181.43 m → S 72.720063°
W 81.199951°		 →
↑
181.45 m
↓
↑
181.45 m
↓
S 72.721695°
W 81.205444°		 ← 181.41 m →
32 918 m²		 S 72.721695°
W 81.199951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274436950683594 y=0.799888610839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274436950683594 × 216)
    floor (0.274436950683594 × 65536)
    floor (17985.5)     		tx = 17985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799888610839844 × 216)
    floor (0.799888610839844 × 65536)
    floor (52421.5)     		ty = 52421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17985 / 52421 ti = "16/17985/52421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17985/52421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17985 ÷ 216
    17985 ÷ 65536     		x = 0.274429321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52421 ÷ 216
    52421 ÷ 65536     		y = 0.799880981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.451141357421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41730237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799880981445312 × 2 - 1) × π
    -0.599761962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88420777646593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41730237} λ = -1.41730237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88420777646593))-π/2
    2×atan(0.151949389641386)-π/2
    2×0.150795893786665-π/2
    0.301591787573331-1.57079632675     		φ = -1.26920454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41730237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.205444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26920454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.720063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17985 KachelY 52421 -1.41730237 -1.26920454 -81.205444 -72.720063
    Oben rechts KachelX + 1 17986 KachelY 52421 -1.41720650 -1.26920454 -81.199951 -72.720063
    Unten links KachelX 17985 KachelY + 1 52422 -1.41730237 -1.26923302 -81.205444 -72.721695
    Unten rechts KachelX + 1 17986 KachelY + 1 52422 -1.41720650 -1.26923302 -81.199951 -72.721695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26920454--1.26923302) × R
    2.84799999998864e-05 × 6371000     		dl = 181.446079999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26920454--1.26923302) × R
    2.84799999998864e-05 × 6371000     		dr = 181.446079999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41730237--1.41720650) × cos(-1.26920454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297040523634944 × 6371000     		do = 181.428719030616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41730237--1.41720650) × cos(-1.26923302) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.297013328962874 × 6371000     		du = 181.412108857506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26920454)-sin(-1.26923302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297040523634944-0.297013328962874)×R²
    abs(-1.41720650--1.41730237)×2.71946720699079e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.71946720699079e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.71946720699079e-05×40589641000000     		ar = 32918.0229443107m²