Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17984 / 52152
↖ ↑ ↗
← S 72.275693°
W 81.210938°		 ← 185.97 m → S 72.275693°
W 81.205444°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
S 72.277366°
W 81.210938°		 ← 185.95 m →
34 582 m²		 S 72.277366°
W 81.205444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274421691894531 y=0.795783996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274421691894531 × 216)
    floor (0.274421691894531 × 65536)
    floor (17984.5)     		tx = 17984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795783996582031 × 216)
    floor (0.795783996582031 × 65536)
    floor (52152.5)     		ty = 52152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17984 / 52152 ti = "16/17984/52152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17984/52152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17984 ÷ 216
    17984 ÷ 65536     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52152 ÷ 216
    52152 ÷ 65536     		y = 0.7957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7957763671875 × 2 - 1) × π
    -0.591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.85841772447034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85841772447034))-π/2
    2×atan(0.155919142335163)-π/2
    2×0.154673753043915-π/2
    0.30934750608783-1.57079632675     		φ = -1.26144882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26144882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.275693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17984 KachelY 52152 -1.41739825 -1.26144882 -81.210938 -72.275693
    Oben rechts KachelX + 1 17985 KachelY 52152 -1.41730237 -1.26144882 -81.205444 -72.275693
    Unten links KachelX 17984 KachelY + 1 52153 -1.41739825 -1.26147801 -81.210938 -72.277366
    Unten rechts KachelX + 1 17985 KachelY + 1 52153 -1.41730237 -1.26147801 -81.205444 -72.277366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26144882--1.26147801) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26144882--1.26147801) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41730237) × cos(-1.26144882) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304437180365238 × 6371000     		do = 185.965902193011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41730237) × cos(-1.26147801) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304409375814325 × 6371000     		du = 185.948917741935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26144882)-sin(-1.26147801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304437180365238-0.304409375814325)×R²
    abs(-1.41730237--1.41739825)×2.7804550913002e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.7804550913002e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.7804550913002e-05×40589641000000     		ar = 34582.4046959562m²