Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17984 / 23950
↖ ↑ ↗
← S 63.616982°
E 17.578125°		 ← 542.86 m → S 63.616982°
E 17.589112°		 →
↑
542.81 m
↓
↑
542.81 m
↓
S 63.621864°
E 17.578125°		 ← 542.77 m →
294 644 m²		 S 63.621864°
E 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548843383789062 y=0.730911254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548843383789062 × 215)
    floor (0.548843383789062 × 32768)
    floor (17984.5)     		tx = 17984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730911254882812 × 215)
    floor (0.730911254882812 × 32768)
    floor (23950.5)     		ty = 23950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17984 / 23950 ti = "15/17984/23950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17984/23950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17984 ÷ 215
    17984 ÷ 32768     		x = 0.548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23950 ÷ 215
    23950 ÷ 32768     		y = 0.73089599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548828125 × 2 - 1) × π
    0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.4617919921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45076233010138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30679616} λ = 0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45076233010138))-π/2
    2×atan(0.234391536244909)-π/2
    2×0.230235262400727-π/2
    0.460470524801455-1.57079632675     		φ = -1.11032580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11032580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.616982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17984 KachelY 23950 0.30679616 -1.11032580 17.578125 -63.616982
    Oben rechts KachelX + 1 17985 KachelY 23950 0.30698791 -1.11032580 17.589112 -63.616982
    Unten links KachelX 17984 KachelY + 1 23951 0.30679616 -1.11041100 17.578125 -63.621864
    Unten rechts KachelX + 1 17985 KachelY + 1 23951 0.30698791 -1.11041100 17.589112 -63.621864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11032580--1.11041100) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dl = 542.809200000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11032580--1.11041100) × R
    8.52000000000075e-05 × 6371000     		dr = 542.809200000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30679616-0.30698791) × cos(-1.11032580) × R
    0.000191749999999991 × 0.444369674515634 × 6371000     		do = 542.859435897997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30679616-0.30698791) × cos(-1.11041100) × R
    0.000191749999999991 × 0.444293347035923 × 6371000     		du = 542.766191252928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11032580)-sin(-1.11041100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.444369674515634-0.444293347035923)×R²
    abs(0.30698791-0.30679616)×7.63274797113689e-05×R²
    0.000191749999999991×7.63274797113689e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.63274797113689e-05×40589641000000     		ar = 294643.789265052m²