Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17983 / 52261
↖ ↑ ↗
← S 72.457072°
W 81.216431°		 ← 184.10 m → S 72.457072°
W 81.210938°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 72.458728°
W 81.216431°		 ← 184.09 m →
33 884 m²		 S 72.458728°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274406433105469 y=0.797447204589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274406433105469 × 216)
    floor (0.274406433105469 × 65536)
    floor (17983.5)     		tx = 17983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797447204589844 × 216)
    floor (0.797447204589844 × 65536)
    floor (52261.5)     		ty = 52261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17983 / 52261 ti = "16/17983/52261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17983/52261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17983 ÷ 216
    17983 ÷ 65536     		x = 0.274398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52261 ÷ 216
    52261 ÷ 65536     		y = 0.797439575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41749412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797439575195312 × 2 - 1) × π
    -0.594879150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86886796858751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41749412} λ = -1.41749412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86886796858751))-π/2
    2×atan(0.154298233433349)-π/2
    2×0.153090925243299-π/2
    0.306181850486597-1.57079632675     		φ = -1.26461448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41749412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26461448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.457072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17983 KachelY 52261 -1.41749412 -1.26461448 -81.216431 -72.457072
    Oben rechts KachelX + 1 17984 KachelY 52261 -1.41739825 -1.26461448 -81.210938 -72.457072
    Unten links KachelX 17983 KachelY + 1 52262 -1.41749412 -1.26464337 -81.216431 -72.458728
    Unten rechts KachelX + 1 17984 KachelY + 1 52262 -1.41739825 -1.26464337 -81.210938 -72.458728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26461448--1.26464337) × R
    2.88899999998371e-05 × 6371000     		dl = 184.058189998962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26461448--1.26464337) × R
    2.88899999998371e-05 × 6371000     		dr = 184.058189998962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41749412--1.41739825) × cos(-1.26461448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301420266191546 × 6371000     		do = 184.103812219937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41749412--1.41739825) × cos(-1.26464337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301392719699622 × 6371000     		du = 184.086987159563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26461448)-sin(-1.26464337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301420266191546-0.301392719699622)×R²
    abs(-1.41739825--1.41749412)×2.75464919243795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75464919243795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75464919243795e-05×40589641000000     		ar = 33884.2660563287m²