Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17983 / 52156
↖ ↑ ↗
← S 72.282382°
W 81.216431°		 ← 185.88 m → S 72.282382°
W 81.210938°		 →
↑
185.91 m
↓
↑
185.91 m
↓
S 72.284053°
W 81.216431°		 ← 185.86 m →
34 554 m²		 S 72.284053°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274406433105469 y=0.795845031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274406433105469 × 216)
    floor (0.274406433105469 × 65536)
    floor (17983.5)     		tx = 17983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795845031738281 × 216)
    floor (0.795845031738281 × 65536)
    floor (52156.5)     		ty = 52156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17983 / 52156 ti = "16/17983/52156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17983/52156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17983 ÷ 216
    17983 ÷ 65536     		x = 0.274398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52156 ÷ 216
    52156 ÷ 65536     		y = 0.79583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274398803710938 × 2 - 1) × π
    -0.451202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41749412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.5916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8588012196673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41749412} λ = -1.41749412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8588012196673))-π/2
    2×atan(0.1558593595569)-π/2
    2×0.154615388606622-π/2
    0.309230777213244-1.57079632675     		φ = -1.26156555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41749412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.216431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26156555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.282382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17983 KachelY 52156 -1.41749412 -1.26156555 -81.216431 -72.282382
    Oben rechts KachelX + 1 17984 KachelY 52156 -1.41739825 -1.26156555 -81.210938 -72.282382
    Unten links KachelX 17983 KachelY + 1 52157 -1.41749412 -1.26159473 -81.216431 -72.284053
    Unten rechts KachelX + 1 17984 KachelY + 1 52157 -1.41739825 -1.26159473 -81.210938 -72.284053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26156555--1.26159473) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dl = 185.905780000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26156555--1.26159473) × R
    2.9180000000073e-05 × 6371000     		dr = 185.905780000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41749412--1.41739825) × cos(-1.26156555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304325989182476 × 6371000     		do = 185.878592285805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41749412--1.41739825) × cos(-1.26159473) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304298193120245 × 6371000     		du = 185.86161479094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26156555)-sin(-1.26159473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304325989182476-0.304298193120245)×R²
    abs(-1.41739825--1.41749412)×2.77960622315776e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77960622315776e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77960622315776e-05×40589641000000     		ar = 34554.3265793571m²