Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17982 / 52260
↖ ↑ ↗
← S 72.455417°
W 81.221924°		 ← 184.14 m → S 72.455417°
W 81.216431°		 →
↑
184.12 m
↓
↑
184.12 m
↓
S 72.457072°
W 81.221924°		 ← 184.12 m →
33 903 m²		 S 72.457072°
W 81.216431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274391174316406 y=0.797431945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274391174316406 × 216)
    floor (0.274391174316406 × 65536)
    floor (17982.5)     		tx = 17982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797431945800781 × 216)
    floor (0.797431945800781 × 65536)
    floor (52260.5)     		ty = 52260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17982 / 52260 ti = "16/17982/52260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17982/52260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17982 ÷ 216
    17982 ÷ 65536     		x = 0.274383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52260 ÷ 216
    52260 ÷ 65536     		y = 0.79742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41759000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.5948486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.86877209478827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41759000} λ = -1.41759000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86877209478827))-π/2
    2×atan(0.154313027300365)-π/2
    2×0.153105375056963-π/2
    0.306210750113926-1.57079632675     		φ = -1.26458558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41759000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26458558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.455417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17982 KachelY 52260 -1.41759000 -1.26458558 -81.221924 -72.455417
    Oben rechts KachelX + 1 17983 KachelY 52260 -1.41749412 -1.26458558 -81.216431 -72.455417
    Unten links KachelX 17982 KachelY + 1 52261 -1.41759000 -1.26461448 -81.221924 -72.457072
    Unten rechts KachelX + 1 17983 KachelY + 1 52261 -1.41749412 -1.26461448 -81.216431 -72.457072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26458558--1.26461448) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dl = 184.12189999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26458558--1.26461448) × R
    2.88999999999984e-05 × 6371000     		dr = 184.12189999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41759000--1.41749412) × cos(-1.26458558) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301447821966723 × 6371000     		do = 184.139848191028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41759000--1.41749412) × cos(-1.26461448) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.301420266191546 × 6371000     		du = 184.123015704979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26458558)-sin(-1.26461448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301447821966723-0.301420266191546)×R²
    abs(-1.41749412--1.41759000)×2.75557751762134e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.75557751762134e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.75557751762134e-05×40589641000000     		ar = 33902.6291023234m²