Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17982 / 52162
↖ ↑ ↗
← S 72.292409°
W 81.221924°		 ← 185.80 m → S 72.292409°
W 81.216431°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 72.294080°
W 81.221924°		 ← 185.78 m →
34 515 m²		 S 72.294080°
W 81.216431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274391174316406 y=0.795936584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274391174316406 × 216)
    floor (0.274391174316406 × 65536)
    floor (17982.5)     		tx = 17982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795936584472656 × 216)
    floor (0.795936584472656 × 65536)
    floor (52162.5)     		ty = 52162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17982 / 52162 ti = "16/17982/52162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17982/52162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17982 ÷ 216
    17982 ÷ 65536     		x = 0.274383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52162 ÷ 216
    52162 ÷ 65536     		y = 0.795928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.45123291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41759000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795928955078125 × 2 - 1) × π
    -0.59185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.85937646246274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41759000} λ = -1.41759000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85937646246274))-π/2
    2×atan(0.155769728365533)-π/2
    2×0.154527881917761-π/2
    0.309055763835522-1.57079632675     		φ = -1.26174056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41759000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.221924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26174056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.292409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17982 KachelY 52162 -1.41759000 -1.26174056 -81.221924 -72.292409
    Oben rechts KachelX + 1 17983 KachelY 52162 -1.41749412 -1.26174056 -81.216431 -72.292409
    Unten links KachelX 17982 KachelY + 1 52163 -1.41759000 -1.26176972 -81.221924 -72.294080
    Unten rechts KachelX + 1 17983 KachelY + 1 52163 -1.41749412 -1.26176972 -81.216431 -72.294080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26174056--1.26176972) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26174056--1.26176972) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41759000--1.41749412) × cos(-1.26174056) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304159275606522 × 6371000     		do = 185.79614365985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41759000--1.41749412) × cos(-1.26176972) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.304131497043259 × 6371000     		du = 185.779175083369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26174056)-sin(-1.26176972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304159275606522-0.304131497043259)×R²
    abs(-1.41749412--1.41759000)×2.77785632630256e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.77785632630256e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.77785632630256e-05×40589641000000     		ar = 34515.3266686114m²