Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17981 / 52150
↖ ↑ ↗
← S 72.272349°
W 81.227417°		 ← 185.98 m → S 72.272349°
W 81.221924°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
S 72.274021°
W 81.227417°		 ← 185.96 m →
34 585 m²		 S 72.274021°
W 81.221924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274375915527344 y=0.795753479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274375915527344 × 216)
    floor (0.274375915527344 × 65536)
    floor (17981.5)     		tx = 17981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795753479003906 × 216)
    floor (0.795753479003906 × 65536)
    floor (52150.5)     		ty = 52150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17981 / 52150 ti = "16/17981/52150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17981/52150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17981 ÷ 216
    17981 ÷ 65536     		x = 0.274368286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52150 ÷ 216
    52150 ÷ 65536     		y = 0.795745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274368286132812 × 2 - 1) × π
    -0.451263427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41768587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.59149169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85822597687186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41768587} λ = -1.41768587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85822597687186))-π/2
    2×atan(0.155949042322797)-π/2
    2×0.154702943258599-π/2
    0.309405886517199-1.57079632675     		φ = -1.26139044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41768587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.227417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26139044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.272349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17981 KachelY 52150 -1.41768587 -1.26139044 -81.227417 -72.272349
    Oben rechts KachelX + 1 17982 KachelY 52150 -1.41759000 -1.26139044 -81.221924 -72.272349
    Unten links KachelX 17981 KachelY + 1 52151 -1.41768587 -1.26141963 -81.227417 -72.274021
    Unten rechts KachelX + 1 17982 KachelY + 1 52151 -1.41759000 -1.26141963 -81.221924 -72.274021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26139044--1.26141963) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26139044--1.26141963) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41768587--1.41759000) × cos(-1.26139044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304492788688848 × 6371000     		do = 185.980471384338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41768587--1.41759000) × cos(-1.26141963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304464984656754 × 6371000     		du = 185.963489021579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26139044)-sin(-1.26141963))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304492788688848-0.304464984656754)×R²
    abs(-1.41759000--1.41768587)×2.78040320941808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78040320941808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78040320941808e-05×40589641000000     		ar = 34585.1143153135m²