Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17981 / 23961
↖ ↑ ↗
← S 63.670633°
E 17.545166°		 ← 541.83 m → S 63.670633°
E 17.556152°		 →
↑
541.79 m
↓
↑
541.79 m
↓
S 63.675506°
E 17.545166°		 ← 541.74 m →
293 535 m²		 S 63.675506°
E 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.548751831054688 y=0.731246948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.548751831054688 × 215)
    floor (0.548751831054688 × 32768)
    floor (17981.5)     		tx = 17981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731246948242188 × 215)
    floor (0.731246948242188 × 32768)
    floor (23961.5)     		ty = 23961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17981 / 23961 ti = "15/17981/23961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17981/23961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17981 ÷ 215
    17981 ÷ 32768     		x = 0.548736572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23961 ÷ 215
    23961 ÷ 32768     		y = 0.731231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548736572265625 × 2 - 1) × π
    0.09747314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.30622091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.46246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45287155368466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30622091} λ = 0.30622091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45287155368466))-π/2
    2×atan(0.233897673105922)-π/2
    2×0.22976706744704-π/2
    0.45953413489408-1.57079632675     		φ = -1.11126219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30622091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.545166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11126219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.670633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17981 KachelY 23961 0.30622091 -1.11126219 17.545166 -63.670633
    Oben rechts KachelX + 1 17982 KachelY 23961 0.30641266 -1.11126219 17.556152 -63.670633
    Unten links KachelX 17981 KachelY + 1 23962 0.30622091 -1.11134723 17.545166 -63.675506
    Unten rechts KachelX + 1 17982 KachelY + 1 23962 0.30641266 -1.11134723 17.556152 -63.675506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11126219--1.11134723) × R
    8.50400000000917e-05 × 6371000     		dl = 541.789840000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11126219--1.11134723) × R
    8.50400000000917e-05 × 6371000     		dr = 541.789840000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30622091-0.30641266) × cos(-1.11126219) × R
    0.000191749999999991 × 0.44353062091748 × 6371000     		do = 541.834415089638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30622091-0.30641266) × cos(-1.11134723) × R
    0.000191749999999991 × 0.443454401429794 × 6371000     		du = 541.741302371866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11126219)-sin(-1.11134723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44353062091748-0.443454401429794)×R²
    abs(0.30641266-0.30622091)×7.62194876863242e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62194876863242e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62194876863242e-05×40589641000000     		ar = 293535.15747248m²