Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17980 / 52263
↖ ↑ ↗
← S 72.460384°
W 81.232910°		 ← 184.07 m → S 72.460384°
W 81.227417°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
S 72.462039°
W 81.232910°		 ← 184.05 m →
33 878 m²		 S 72.462039°
W 81.227417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274360656738281 y=0.797477722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274360656738281 × 216)
    floor (0.274360656738281 × 65536)
    floor (17980.5)     		tx = 17980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797477722167969 × 216)
    floor (0.797477722167969 × 65536)
    floor (52263.5)     		ty = 52263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17980 / 52263 ti = "16/17980/52263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17980/52263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17980 ÷ 216
    17980 ÷ 65536     		x = 0.27435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52263 ÷ 216
    52263 ÷ 65536     		y = 0.797470092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41778174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.797470092773438 × 2 - 1) × π
    -0.594940185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.86905971618599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41778174} λ = -1.41778174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86905971618599))-π/2
    2×atan(0.15426864995401)-π/2
    2×0.153062029578463-π/2
    0.306124059156925-1.57079632675     		φ = -1.26467227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41778174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.232910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26467227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.460384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17980 KachelY 52263 -1.41778174 -1.26467227 -81.232910 -72.460384
    Oben rechts KachelX + 1 17981 KachelY 52263 -1.41768587 -1.26467227 -81.227417 -72.460384
    Unten links KachelX 17980 KachelY + 1 52264 -1.41778174 -1.26470116 -81.232910 -72.462039
    Unten rechts KachelX + 1 17981 KachelY + 1 52264 -1.41768587 -1.26470116 -81.227417 -72.462039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26467227--1.26470116) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26467227--1.26470116) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41778174--1.41768587) × cos(-1.26467227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301365163421058 × 6371000     		do = 184.070156121629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41778174--1.41768587) × cos(-1.26470116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.301337616425965 × 6371000     		du = 184.053330753926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26467227)-sin(-1.26470116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301365163421058-0.301337616425965)×R²
    abs(-1.41768587--1.41778174)×2.75469950927199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.75469950927199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.75469950927199e-05×40589641000000     		ar = 33878.0713481359m²