Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17980 / 52161
↖ ↑ ↗
← S 72.290738°
W 81.232910°		 ← 185.79 m → S 72.290738°
W 81.227417°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 72.292409°
W 81.232910°		 ← 185.78 m →
34 515 m²		 S 72.292409°
W 81.227417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274360656738281 y=0.795921325683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274360656738281 × 216)
    floor (0.274360656738281 × 65536)
    floor (17980.5)     		tx = 17980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795921325683594 × 216)
    floor (0.795921325683594 × 65536)
    floor (52161.5)     		ty = 52161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17980 / 52161 ti = "16/17980/52161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17980/52161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17980 ÷ 216
    17980 ÷ 65536     		x = 0.27435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52161 ÷ 216
    52161 ÷ 65536     		y = 0.795913696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41778174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.795913696289062 × 2 - 1) × π
    -0.591827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8592805886635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41778174} λ = -1.41778174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8592805886635))-π/2
    2×atan(0.155784663317122)-π/2
    2×0.154542463036134-π/2
    0.309084926072268-1.57079632675     		φ = -1.26171140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41778174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.232910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26171140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.290738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17980 KachelY 52161 -1.41778174 -1.26171140 -81.232910 -72.290738
    Oben rechts KachelX + 1 17981 KachelY 52161 -1.41768587 -1.26171140 -81.227417 -72.290738
    Unten links KachelX 17980 KachelY + 1 52162 -1.41778174 -1.26174056 -81.232910 -72.292409
    Unten rechts KachelX + 1 17981 KachelY + 1 52162 -1.41768587 -1.26174056 -81.227417 -72.292409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26171140--1.26174056) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26171140--1.26174056) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41778174--1.41768587) × cos(-1.26171140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304187053911157 × 6371000     		do = 185.793732321261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41778174--1.41768587) × cos(-1.26174056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304159275606522 × 6371000     		du = 185.776765672519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26171140)-sin(-1.26174056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304187053911157-0.304159275606522)×R²
    abs(-1.41768587--1.41778174)×2.77783046346847e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77783046346847e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77783046346847e-05×40589641000000     		ar = 34514.8788732613m²