Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1798 / 1274
↖ ↑ ↗
← N 76.900709°
W100.986328°		 ← 1 107.49 m → N 76.900709°
W100.942383°		 →
↑
1 107.92 m
↓
↑
1 107.92 m
↓
N 76.890745°
W100.986328°		 ← 1 108.31 m →
1 227 461 m²		 N 76.890745°
W100.942383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21954345703125 y=0.15557861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21954345703125 × 213)
    floor (0.21954345703125 × 8192)
    floor (1798.5)     		tx = 1798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15557861328125 × 213)
    floor (0.15557861328125 × 8192)
    floor (1274.5)     		ty = 1274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1798 / 1274 ti = "13/1798/1274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1798/1274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1798 ÷ 213
    1798 ÷ 8192     		x = 0.219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1274 ÷ 213
    1274 ÷ 8192     		y = 0.155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.56103515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.76254393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155517578125 × 2 - 1) × π
    0.68896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16444689164478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76254393} λ = -1.76254393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16444689164478))-π/2
    2×atan(8.70978313049692)-π/2
    2×1.4564834473277-π/2
    2.91296689465539-1.57079632675     		φ = 1.34217057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76254393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.986328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34217057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1798 KachelY 1274 -1.76254393 1.34217057 -100.986328 76.900709
    Oben rechts KachelX + 1 1799 KachelY 1274 -1.76177693 1.34217057 -100.942383 76.900709
    Unten links KachelX 1798 KachelY + 1 1275 -1.76254393 1.34199667 -100.986328 76.890745
    Unten rechts KachelX + 1 1799 KachelY + 1 1275 -1.76177693 1.34199667 -100.942383 76.890745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34217057-1.34199667) × R
    0.00017390000000006 × 6371000     		dl = 1107.91690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34217057-1.34199667) × R
    0.00017390000000006 × 6371000     		dr = 1107.91690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76254393--1.76177693) × cos(1.34217057) × R
    0.000767000000000184 × 0.226639254256175 × 6371000     		do = 1107.48563436056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76254393--1.76177693) × cos(1.34199667) × R
    0.000767000000000184 × 0.226808625736861 × 6371000     		du = 1108.3132777551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34217057)-sin(1.34199667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226639254256175-0.226808625736861)×R²
    abs(-1.76177693--1.76254393)×0.000169371480685576×R²
    0.000767000000000184×0.000169371480685576×6371000²
    0.000767000000000184×0.000169371480685576×40589641000000     		ar = 1227460.53396144m²