Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17979 / 52244
↖ ↑ ↗
← S 72.428902°
W 81.238403°		 ← 184.41 m → S 72.428902°
W 81.232910°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
S 72.430561°
W 81.238403°		 ← 184.39 m →
34 011 m²		 S 72.430561°
W 81.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274345397949219 y=0.797187805175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274345397949219 × 216)
    floor (0.274345397949219 × 65536)
    floor (17979.5)     		tx = 17979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797187805175781 × 216)
    floor (0.797187805175781 × 65536)
    floor (52244.5)     		ty = 52244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17979 / 52244 ti = "16/17979/52244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17979/52244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17979 ÷ 216
    17979 ÷ 65536     		x = 0.274337768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52244 ÷ 216
    52244 ÷ 65536     		y = 0.79718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274337768554688 × 2 - 1) × π
    -0.451324462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41787762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.5943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86723811400043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41787762} λ = -1.41787762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86723811400043))-π/2
    2×atan(0.154549922169194)-π/2
    2×0.153336751802212-π/2
    0.306673503604425-1.57079632675     		φ = -1.26412282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41787762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.238403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26412282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.428902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17979 KachelY 52244 -1.41787762 -1.26412282 -81.238403 -72.428902
    Oben rechts KachelX + 1 17980 KachelY 52244 -1.41778174 -1.26412282 -81.232910 -72.428902
    Unten links KachelX 17979 KachelY + 1 52245 -1.41787762 -1.26415177 -81.238403 -72.430561
    Unten rechts KachelX + 1 17980 KachelY + 1 52245 -1.41778174 -1.26415177 -81.232910 -72.430561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26412282--1.26415177) × R
    2.89499999999165e-05 × 6371000     		dl = 184.440449999468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26412282--1.26415177) × R
    2.89499999999165e-05 × 6371000     		dr = 184.440449999468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41787762--1.41778174) × cos(-1.26412282) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.301889023316395 × 6371000     		do = 184.409356688881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41787762--1.41778174) × cos(-1.26415177) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.301861423907887 × 6371000     		du = 184.392497549346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26412282)-sin(-1.26415177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301889023316395-0.301861423907887)×R²
    abs(-1.41778174--1.41787762)×2.7599408508383e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.7599408508383e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.7599408508383e-05×40589641000000     		ar = 34010.9899805477m²