Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17978 / 52415
↖ ↑ ↗
← S 72.710270°
W 81.243896°		 ← 181.53 m → S 72.710270°
W 81.238403°		 →
↑
181.51 m
↓
↑
181.51 m
↓
S 72.711903°
W 81.243896°		 ← 181.51 m →
32 948 m²		 S 72.711903°
W 81.238403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274330139160156 y=0.799797058105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274330139160156 × 216)
    floor (0.274330139160156 × 65536)
    floor (17978.5)     		tx = 17978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799797058105469 × 216)
    floor (0.799797058105469 × 65536)
    floor (52415.5)     		ty = 52415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17978 / 52415 ti = "16/17978/52415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17978/52415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17978 ÷ 216
    17978 ÷ 65536     		x = 0.274322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52415 ÷ 216
    52415 ÷ 65536     		y = 0.799789428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.45135498046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41797349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.799789428710938 × 2 - 1) × π
    -0.599578857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88363253367049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41797349} λ = -1.41797349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88363253367049))-π/2
    2×atan(0.152036822578222)-π/2
    2×0.150881352465237-π/2
    0.301762704930474-1.57079632675     		φ = -1.26903362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41797349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.243896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26903362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.710270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17978 KachelY 52415 -1.41797349 -1.26903362 -81.243896 -72.710270
    Oben rechts KachelX + 1 17979 KachelY 52415 -1.41787762 -1.26903362 -81.238403 -72.710270
    Unten links KachelX 17978 KachelY + 1 52416 -1.41797349 -1.26906211 -81.243896 -72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 17979 KachelY + 1 52416 -1.41787762 -1.26906211 -81.238403 -72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26903362--1.26906211) × R
    2.84899999998256e-05 × 6371000     		dl = 181.509789998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26903362--1.26906211) × R
    2.84899999998256e-05 × 6371000     		dr = 181.509789998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41797349--1.41787762) × cos(-1.26903362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29720372479957 × 6371000     		do = 181.528400306019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41797349--1.41787762) × cos(-1.26906211) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 181.511785184332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26903362)-sin(-1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29720372479957-0.29717652202554)×R²
    abs(-1.41787762--1.41797349)×2.72027740300107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.72027740300107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.72027740300107e-05×40589641000000     		ar = 32947.6739172123m²