Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17978 / 22982
↖ ↑ ↗
← N 75.181575°
W130.621948°		 ← 78.10 m → N 75.181575°
W130.619202°		 →
↑
78.11 m
↓
↑
78.11 m
↓
N 75.180873°
W130.621948°		 ← 78.10 m →
6 100 m²		 N 75.180873°
W130.619202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137165069580078 y=0.175342559814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137165069580078 × 217)
    floor (0.137165069580078 × 131072)
    floor (17978.5)     		tx = 17978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175342559814453 × 217)
    floor (0.175342559814453 × 131072)
    floor (22982.5)     		ty = 22982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17978 / 22982 ti = "17/17978/22982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17978/22982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17978 ÷ 217
    17978 ÷ 131072     		x = 0.137161254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22982 ÷ 217
    22982 ÷ 131072     		y = 0.175338745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137161254882812 × 2 - 1) × π
    -0.725677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27978307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175338745117188 × 2 - 1) × π
    0.649322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.03990682643187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27978307} λ = -2.27978307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.03990682643187))-π/2
    2×atan(7.6898926707601)-π/2
    2×1.44148117477871-π/2
    2.88296234955743-1.57079632675     		φ = 1.31216602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27978307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.621948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31216602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.181575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17978 KachelY 22982 -2.27978307 1.31216602 -130.621948 75.181575
    Oben rechts KachelX + 1 17979 KachelY 22982 -2.27973514 1.31216602 -130.619202 75.181575
    Unten links KachelX 17978 KachelY + 1 22983 -2.27978307 1.31215376 -130.621948 75.180873
    Unten rechts KachelX + 1 17979 KachelY + 1 22983 -2.27973514 1.31215376 -130.619202 75.180873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31216602-1.31215376) × R
    1.22600000000972e-05 × 6371000     		dl = 78.1084600006192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31216602-1.31215376) × R
    1.22600000000972e-05 × 6371000     		dr = 78.1084600006192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27978307--2.27973514) × cos(1.31216602) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.255756653370336 × 6371000     		do = 78.0983708592199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27978307--2.27973514) × cos(1.31215376) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.255768505598141 × 6371000     		du = 78.1019900795625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31216602)-sin(1.31215376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255756653370336-0.255768505598141)×R²
    abs(-2.27973514--2.27978307)×1.1852227804976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1852227804976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1852227804976e-05×40589641000000     		ar = 6100.28482243758m²